Домой Блог Страница 374

2 Метода дисконтирования

0

Рис. 2.4

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину P называют приведенной (современной или текущей) величиной S. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

В зависимости от вида процентной ставки применяют 2 метода дисконтирования:

1) математическое дисконтирование по ставке наращения;

2) банковский (коммерческий) учет по учетной ставке.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды: необходимо найти текущую «сегодняшнюю» стоимость Р будущей величины S, если на первоначальный долг начисляются проценты по ставке i.

Решив (2.3) относительно P, находим

, (2.9)

где – множитель дисконтирования (дисконтный множитель) по простой процентной ставке. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.

Из формулы (2.1) следует, что проценты вычисляются по формуле

I = S – P. (2.10)

Сравнив последнюю формулу с формулой (2.8), видим, что по форме проценты и дисконт совпадают. Не следует забывать об их различном финансовом содержании.

Пример 2.6. Через 159 дней после подписания договора должник уплачивает 8,5 тыс. руб. Кредит выдан под 19% годовых. Какова первоначальная сумма долга и дисконт при условии, что временная база равна 360 дней?

Решение.

руб., D = S – P = 8500–7841,93 = 658,07 руб.

Банковский учет (учет векселей) – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Суть операции банковского учета заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе или обязательстве, т. е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но раньше указанного в обязательстве срока. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом используется простая учетная ставка d.

В этом случае сумма, получаемая владельцем обязательства или векселя при его учете, равна:

P = S (1n×d), (2.11)

где S – сумма обязательства, подлежащая уплате в конце его срока, n – срок от момента учета до даты погашения обязательства, d – простая учетная ставка.

(1 – n×d) – множитель дисконтирования по простой учетной ставке. Учет посредством учетной ставки осуществляется при временной базе K=360, используется схема 365/360.

Подставив формулу (2.11) в (2.8), получим формулу для расчета дисконта при учете по простой учетной ставке:

D =S – P= S×n×d. (2.12)

Пример 2.7. Вексель, имеющий номинальную стоимость 8000 руб., учтен в банке по учетной ставке 18,5% годовых за 132 дня до его погашения. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете и сумму, которую получит банк.

Решение.

P = S (1n×d) = 8000 (1 – ×0,185 ) = 7457,33 руб.

D =S – P = 8000 – 7457,33 = 542,67 руб.

Иногда в банках используют следующую схему при расчете современной величины задолженности:

— определяют наращенную сумму долга;

— определяют сумму, получаемую при учете.

Оба последовательных действия можно представить в одной формуле:

P¢ = P(1 + ni)×(1 – n¢d), (2.13)

где P¢ – сумма, получаемая при учете, n – общий срок обязательства, n¢ – срок от момента учета до даты погашения.

Пример 2.8. Предприятие продало товар, получив вексель номинальной стоимостью 80 млн. руб. сроком 80 дней и процентной ставкой 35% годовых. Через 55 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть его в банке по учетной ставке 30% годовых. Рассчитайте сумму, получаемую векселедержателем.

Решение.

P¢ = 80×(1+×0,35)×(1 – ×0,3) = 84,426 млн. руб.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется при расчете наращенной суммы. В этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма задолженности. Наращенная сумма в этом случае

, (2.14)

где – это множитель наращения по простой учетной ставке.

2.4. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставки d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i= d.

Ставки

Прямая задача

Обратная задача

i

S = P (1 + n×i)

d

P = S (1 – n×d)

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки.

Выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции.

2.4.1. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

В тех случаях, когда известны величина долга в начале и в конце срока ссуды, а также процентная ставка, можно определить срок этой ссуды. Для простой ставки наращения срок ссуды определяется решением (2.3) относительно n:

. (2.15)

Для простой учетной ставки срок ссуды определяется решением (2.11) относительно n:

. (2.16)

Если необходимо определить срок в днях, то используют формулу (2.4).

Пример 2.9. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 9000 руб., вырос до 10000 руб. при условии, что простая ставка наращения равна 18,5% годовых при K=365?

Решение.

дней.

В тех случаях, когда известны величина долга в начале и в конце срока ссуды, а также ее срок, можно определить процентную ставку этой ссуды. В этом случае процентную ставку называют доходностью ссудной операции. Для простой ставки наращения и простой учетной ставки срок ссуды определяется решением (2.3) и (2.11) относительно i и d соответственно:

Источники:

10 способов решения квадратных уравнений

0

Копьевская
сельская средняя
общеобразовательная
школа
10
способов решения
квадратных
уравнений
Автор:
Реутова Екатерина
Викторовна,
11 кл.
Руководитель:
Патрикеева
Галина Анатольевна,
учитель
математики
с.Копьево,
2007
Содержание
1. История
развития квадратных
уравнений
1.1
Квадратные
уравнения в
Древнем Вавилоне
1.2 Как
составлял и
решал Диофант
квадратные
уравнения
1.3
Квадратные
уравнения в
Индии
1.4
Квадратные
уравнения у
ал- Хорезми
1.5
Квадратные
уравнения в
Европе XIII
— XVII вв
1.6 О
теореме Виета
2. Способы
решения квадратных
уравнений
Заключение
Литература
1.
История
развития квадратных
уравнений
1.1 Квадратные
уравнения в
Древнем Вавилоне
Необходимость
решать уравнения
не только первой,
но и второй
степени еще
в древности
была вызвана
потребностью
решать задачи,
связанные с
нахождением
площадей земельных
участков и с
земляными
работами военного
характера, а
также с развитием
астрономии
и самой математики.
Квадратные
уравнения умели
решать около
2000 лет до н. э.
вавилоняне.
Применяя
современную
алгебраическую
запись, можно
сказать, что
в их клинописных
текстах встречаются,
кроме неполных,
и такие, например,
полные квадратные
уравнения:
X2
+ X
= ѕ; X2
— X = 14,5
Правило
решения этих
уравнений,
изложенное
в вавилонских
текстах, совпадает
по существу
с современным,
однако неизвестно,
каким образом
дошли вавилоняне
до этого правила.
Почти все найденные
до сих пор
клинописные
тексты приводят
только задачи
с решениями,
изложенными
в виде рецептов,
без указаний
относительно
того, каким
образом они
были найдены.
Несмотря
на высокий
уровень развития
алгебры в Вавилоне,
в клинописных
текстах отсутствуют
понятие отрицательного
числа и общие
методы решения
квадратных
уравнений.
1.2 Как составлял
и решал Диофант
квадратные
уравнения.
В «Арифметике»
Диофанта нет
систематического
изложения
алгебры, однако
в ней содержится
систематизированный
ряд задач,
сопровождаемых
объяснениями
и решаемых при
помощи составления
уравнений
разных степеней.
При составлении
уравнений
Диофант для
упрощения
решения умело
выбирает неизвестные.
Вот, к примеру,
одна из его
задач.
Задача 11.
«Найти два
числа, зная,
что их сумма
равна 20, а произведение
— 96»
Диофант
рассуждает
следующим
образом: из
условия задачи
вытекает, что
искомые числа
не равны, так
как если бы они
были равны, то
их произведение
равнялось бы
не 96, а 100. Таким
образом, одно
из них будет
больше половины
их суммы, т.е.
10 + х, другое же
меньше, т.е. 10 —
х. Разность
между ними 2х.
Отсюда уравнение:
(10 + х)(10 — х) = 96
или же:
100 — х2
= 96
х2 —
4 = 0 (1)
Отсюда х =
2. Одно из искомых
чисел равно
12, другое 8.
Решение х = -2
для Диофанта
не существует,
так как греческая
математика
знала только
положительные
числа.
Если мы решим
эту задачу,
выбирая в качестве
неизвестного
одно из искомых
чисел, то мы
придем к решению
уравнения
у(20 — у) = 96,
у2 — 20у + 96 =
0. (2)
Ясно, что,
выбирая в качестве
неизвестного
полуразность
искомых чисел,
Диофант упрощает
решение; ему
удается свести
задачу к решению
неполного
квадратного
уравнения (1).
1.3Квадратные
уравнения в
Индии
Задачи на
квадратные
уравнения
встречаются
уже в астрономическом
тракте «Ариабхаттиам»,
составленном
в 499 г. индийским
математиком
и астрономом
Ариабхаттой.
Другой индийский
ученный, Брахмагупта
(VII в.), изложил
общее правило
решения квадратных
уравнений,
приведенных
к единой канонической
форме:
ах2 + bх
= с, а > 0. (1)
В уравнении
(1) коэфиценты,
кроме а, могут
быть и отрицательными.
Правило Брахмагупты
по существу
совпадает с
нашим.
В Древней
Индии были
распространены
публичные
соревнования
в решении трудных
задач. В одной
из старинных
индийских книг
говорится по
поводу таких
соревнований
следующее: «Как
солнце блеском
своим затмевает
звезды, так
ученый человек
затмит славу
другого в народных
собраниях,
предлагая и
решая алгебраические
задачи». Задачи
часто облекались
в стихотворную
форму.
Вот одна из
задач знаменитого
индийского
математика
XII в. Бхаскары.
Задача 13.
«Обезьянок
резвых стая
А двенадцать
по лианам…
Власть поевши,
развлекалась.
Стали прыгать,
повисая…
Их в квадрате
часть восьмая
Сколько ж было
обезьянок,
На поляне
забавлялась.
Ты скажи мне,
в этой стае?»
Решение
Бхаскары
свидетельствует
о том, что он
знал о двузначности
корней квадратных
уравнений (рис.
3).
10 способов решения квадратных уравнений
Соответствующее
задаче 13 уравнение:
(x/8)2
+ 12 = x
Бхаскара
пишет под видом:
х2
— 64х = -768
и, чтобы
дополнить левую
часть этого
уравнения до
квадрата, прибавляет
к обеим частям
322,
получая затем:
х2
— 64х + 322
= -768 + 1024,
(х — 32)2
= 256,
х — 32 = ± 16,
х1
= 16, х2
= 48.
1.4 Квадратные
уравнения у
ал – Хорезми
В алгебраическом
трактате ал
— Хорезми дается
классификация
линейных и
квадратных
уравнений.
Автор насчитывает
6 видов уравнений,
выражая их
следующим
образом:
1) «Квадраты
равны корнями»,
т.е. ах2
+ с = bх.
2) «Квадраты
равны числу»,
т.е. ах2
= с.
3) «Корни
равны числу»,
т.е. ах = с.
4) «Квадраты
и числа равны
корням», т.е.
ах2
+ с = bх.
5) «Квадраты
и корни равны
числу», т.е. ах2
+ bx
= с.
6) «Корни
и числа равны
квадратам»,
т.е. bx
+ с = ах2.
Для
ал — Хорезми,
избегавшего
употребления
отрицательных
чисел, члены
каждого их этих
уравнений
слагаемые, а
не вычитаемые.
При этом заведомо
не берутся во
внимание уравнения,
у которых нет
положительных
решений. Автор
излагает способы
решения указанных
уравнений,
пользуясь
приемами ал
— джабр и ал —
мукабала. Его
решения, конечно,
не совпадает
полностью с
нашим. Уже не
говоря о том,
что оно чисто
риторическое,
следует отметить,
например, что
при решении
неполного
квадратного
уравнения
первого вида
ал —
Хорезми, как
и все математики
до XVII
в., е учитывает
нулевого решения,
вероятно, потому,
что в конкретных
практических
задачах оно
не имеет значения.
При решении
полных квадратных
уравнений ал
— Хорезми на
частных числовых
примерах излагает
правила решения,
а затем и геометрические
доказательства.
Задача 14.
«Квадрат и
число 21 равны
10 корням. Найти
корень» (подразумевается
корень уравнения
х2 + 21 = 10х).
Решение автора
гласит примерно
так: раздели
пополам число
корней, получишь
5, умножишь 5 само
на себя, от
произведения
отними 21, останется
4. Извлеки корень
из 4, получишь
2. Отними 2 от5,
получишь 3, это
и будет искомый
корень. Или же
прибавь 2 к 5, что
даст 7, это тоже
есть корень.
Трактат ал
— Хорезми является
первой, дошедшей
до нас книгой,
в которой
систематически
изложена
классификация
квадратных
уравнений и
даны формулы
их решения.
1.5 Квадратные
уравнения в
Европе XIII
— XVII вв
Формулы
решения квадратных
уравнений по
образцу ал —
Хорезми в Европе
были впервые
изложены в «
Книге абака»,
написанной
в 1202 г. итальянским
математиком
Леонардо Фибоначчи.
Этот объемистый
труд, в котором
отражено влияние
математики,
как стран ислама,
так и Древней
Греции, отличается
и полнотой, и
ясностью изложения.
Автор разработал
самостоятельно
некоторые новые
алгебраические
примеры решения
задач и первый
в Европе подошел
к введению
отрицательных
чисел. Его книга
способствовала
распространению
алгебраических
знаний не только
в Италии, но и
в Германии,
Франции и других
странах Европы.
Многие задачи
из « Книги абака»
переходили
почти во все
европейские
учебники XVI
— XVII вв. и частично
XVIII.
Общее правило
решения квадратных
уравнений,
приведенных
к единому
каноническому
виду:
х2 + bx
= с,
при всевозможных
комбинациях
знаков коэффициентов
b, с было
сформулировано
в Европе лишь
в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы
решения квадратного
уравнения в
общем виде
имеется у Виета,
однако Виет
признавал
только положительные
корни. Итальянские
математики
Тарталья, Кардано,
Бомбелли среди
первых в XVI
в. Учитывают,
помимо положительных,
и отрицательные
корни. Лишь в
XVII в. Благодаря
труда Жирара,
Декарта, Ньютона
и других ученых
способ решения
квадратных
уравнений
принимает
современный
вид.
1.6 О теореме
Виета
Теорема,
выражающая
связь между
коэффициентами
квадратного
уравнения и
его корнями,
носящая имя
Виета, была им
сформулирована
впервые в 1591 г.
следующим
образом: «Если
B + D,
умноженное
на A — A2,
равно BD,
то A равно
В и равно D».
Чтобы понять
Виета, следует
вспомнить, что
А, как и всякая
гласная буква,
означало у него
неизвестное
(наше х), гласные
же В,D —
коэффициенты
при неизвестном.
На языке современной
алгебры вышеприведенная
формулировка
Виета означает:
если имеет
место
(а + b)х
— х2 = ab,
т.е.
х2 — (а + b)х
+ аb = 0,
то
х1 = а, х2
= b.
Выражая
зависимость
между корнями
и коэффициентами
уравнений
общими формулами,
записанными
с помощью символов,
Виет установил
единообразие
в приемах решения
уравнений.
Однако символика
Виета еще далека
от современного
вида. Он не признавал
отрицательных
чисел и по этому
при решении
уравнений
рассматривал
лишь случаи,
когда все корни
положительны.
2. Способы
решения квадратных
уравнений
Квадратные
уравнения — это
фундамент, на
котором покоится
величественное
здание алгебры.
Квадратные
уравнения
находят широкое
применение
при решении
тригонометрических,
показательных,
логарифмических,
иррациональных
и трансцендентных
уравнений и
неравенств.
Все мы умеем
решать квадратные
уравнения со
школьной скамьи
(8 класс), до окончания
вуза.
В школьном
курсе математики
изучаются
формулы корней
квадратных
уравнений, с
помощью которых
можно решать
любые квадратные
уравнения.
Однако имеются
и другие способы
решения квадратных
уравнений,
которые позволяют
очень быстро
и рационально
решать многие
уравнения.
Имеется десять
способов решения
квадратных
уравнений.
Подробно в
своей работе
я разобрала
каждый из них.
1. СПОСОБ:
Разложение
левой части
уравнения на
множители.
Решим уравнение
х2 + 10х — 24 =
0.
Разложим
левую часть
на множители:
х2 + 10х — 24 =
х2 + 12х — 2х — 24 = х(х
+ 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).
Следовательно,
уравнение можно
переписать
так:
(х + 12)(х — 2) = 0
Так как произведение
равно нулю, то,
по крайней
мере, один из
его множителей
равен нулю.
Поэтому левая
часть уравнения
обращается
нуль при х = 2,
а также при х
= — 12. Это означает,
что число 2 и
— 12 являются
корнями уравнения
х2 + 10х — 24 = 0.
2. СПОСОБ:
Метод выделения
полного квадрата.
Решим уравнение
х2 + 6х — 7 = 0.
Выделим в
левой части
полный квадрат.
Для этого
запишем выражение
х2 + 6х в следующем
виде:
х2 + 6х = х2
+ 2• х • 3.
В полученном
выражении
первое слагаемое
— квадрат числа
х, а второе —
удвоенное
произведение
х на 3. По этому
чтобы получить
полный квадрат,
нужно прибавить
32, так как
х2 + 2• х • 3 + 32
= (х + 3)2.
Преобразуем
теперь левую
часть уравнения
х2 + 6х — 7 = 0,
прибавляя
к ней и вычитая
32. Имеем:
х2 + 6х — 7 = х2
+ 2• х • 3 + 32 — 32
— 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х +
3)2 — 16.
Таким образом,
данное уравнение
можно записать
так:
(х + 3)2 — 16 =0, (х
+ 3)2 = 16.
Следовательно,
х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или
х + 3 = -4, х2 = -7.
3. СПОСОБ:
Решение квадратных
уравнений по
формуле.
Умножим обе
части уравнения
ах2
+ bх
+ с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно
имеем:
4а2х2
+ 4аbх
+ 4ас = 0,
((2ах)2
+ 2ах • b
+ b2)
— b2
+ 4ac
= 0,
(2ax + b)2
= b2
— 4ac,
2ax + b = ± √
b2
— 4ac,
2ax = — b ± √
b2
— 4ac,
10 способов решения квадратных уравнений
Примеры.
а)
Решим уравнение:
4х2
+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b
= 7, с = 3, D
= b2
— 4ac
= 72
— 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,
D
> 0, два разных
корня;
10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравнений
Таким
образом, в случае
положительного
дискриминанта,
т.е. при
b2
— 4ac
>0 , уравнение
ах2
+ bх
+ с = 0 имеет
два различных
корня.
б)
Решим уравнение:
4х2
— 4х + 1 = 0,
а = 4, b
= — 4, с = 1, D
= b2
— 4ac
= (-4)2
— 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,
D
= 0, один корень;
10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравнений
Итак,
если дискриминант
равен нулю,
т.е. b2
— 4ac
= 0, то уравнение
ах2
+ bх
+ с = 0 имеет
единственный
корень,
в)
Решим уравнение:
2х2
+ 3х + 4 = 0,
а = 2, b
= 3, с = 4, D
= b2
— 4ac
= 32
— 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D
< 0. Данное уравнение корней не имеет. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней. Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент. 4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид 10 способов решения квадратных уравненийx1
x2 =
q,
x1 +
x2 =
— p
Отсюда можно
сделать следующие
выводы (по
коэффициентам
p и q можно
предсказать
знаки корней).
а) Если сводный
член q
приведенного
уравнения (1)
положителен
(q > 0), то
уравнение имеет
два одинаковых
по знаку корня
и это зависти
от второго
коэффициента
p. Если р
< 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p =
— 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p=
8 > 0.
б) Если свободный
член q
приведенного
уравнения (1)
отрицателен
(q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p 0 . Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0. 5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета 10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравнений10 способов решения квадратных уравненийу1
= 5 х1 = 5/2
x1 = 2,5
у2 = 6 x2
= 6/2 x2
= 3.
Ответ: 2,5; 3.
6. СПОСОБ:
Свойства
коэффициентов
квадратного
уравнения.
А. Пусть
дано квадратное
уравнение
ах2 + bх
+ с = 0, где а ≠ 0.
1) Если, а+ b
+ с = 0 (т.е. сумма
коэффициентов
равна нулю), то
х1 = 1,
х2 = с/а.
Доказательство.
Разделим обе
части уравнения
на а ≠ 0, получим
приведенное
квадратное
уравнение
x2
+ b/a
• x + c/a
= 0.
10 способов решения квадратных уравнений Согласно
теореме Виета
x1
+ x2 = —
b/a,
x1x2
= 1• c/a.
По условию
а – b + с
= 0, откуда b
= а + с. Таким образом,
10 способов решения квадратных уравненийx1
+ x2
= — а + b/a= -1 –
c/a,
x1x2
= — 1• ( — c/a),
т.е. х1 =
-1 и х2 = c/a,
что м требовалось
доказать.
Примеры.
Решим
уравнение
345х2 – 137х –
208 = 0.
Решение.
Так как
а + b
+ с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
х1
= 1, х2
= c/a
= -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2)Решим
уравнение 132х2
– 247х + 115 = 0.
Решение.
Так как
а + b
+ с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х1
= 1, х2
= c/a
= 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
Б.
Если второй
коэффициент
b
= 2k
– четное
число, то формулу
корней
10 способов решения квадратных уравнений
Пример.
Решим
уравнение 3х2
— 14х + 16 = 0.
Решение.
Имеем: а =
3, b
= — 14, с = 16, k
= — 7;
D
= k2
– ac
= (- 7)2
– 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D
> 0, два различных
корня;
10 способов решения квадратных уравнений
Ответ:
2; 8/3
В.
Приведенное
уравнение
х2
+ рх + q=
0
совпадает
с уравнением
общего вида,
в котором а
= 1, b
= р и с
= q.
Поэтому для
приведенного
квадратного
уравнения
формула корней
10 способов решения квадратных уравнений
10 способов решения квадратных уравнений
принимает
вид:
Формулу
(3) особенно удобно
использовать,
когда р —
четное число.
10 способов решения квадратных уравнений
Пример.
Решим уравнение
х2
– 14х – 15 = 0.
Решение.
Имеем: х1,2
=7±
Ответ:
х1
= 15; х2
= -1.
7. СПОСОБ:
Графическое
решение квадратного
уравнения.
10 способов решения квадратных уравнений
Если в
уравнении
х2
+ px
+ q
= 0
перенести
второй и третий
члены в правую
часть, то получим
х2
= — px
— q.
Построим
графики зависимости
у = х2
и у = — px
— q.
График
первой зависимости
— парабола,
проходящая
через начало
координат.
График второй
зависимости

прямая
(рис.1). Возможны
следующие
случаи:
— прямая
и парабола
могут пересекаться
в двух точках,
абсциссы точек
пересечения
являются корнями
квад- ратного
уравнения;
10 способов решения квадратных уравнений
— прямая
и парабола
могут касаться
( только одна
общая точка),
т.е. уравнение
имеет одно
решение;
— прямая
и парабола не
имеют общих
точек, т.е. квадратное
уравнение не
имеет корней.
Примеры.
1) Решим
графически
уравнение х2
— 3х — 4 = 0 (рис.
2).
Решение.
Запишем уравнение
в виде х2
= 3х + 4.
Построим
параболу у
= х2
и прямую у
= 3х + 4. Прямую
у = 3х +
4 можно
построить по
двум точкам
М (0; 4) и
N
(3; 13). Прямая
и парабола
пересекаются
в двух точках
А
и В с
абсциссами
х1
= — 1 и х2
= 4. Ответ:
х1
= — 1;
х2
= 4.
10

<p>Источники: </p>
	            </div>
            </div>

        </div>

        
        <div class=

* Алгебры и их применение

0

Дипломная
работа специалиста
Таврический
национальный университет им. В.И. Вернадского
Симферополь
2003
Введение
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество
непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н),
сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда
А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из
основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) –
перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX
веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В
связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений
топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А.
Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века.
В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных
образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории
представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя
проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для
дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1
дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2
излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия:
неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и
дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения
пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8],
[9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2 = С ,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то
есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые
*-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны
соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные
*-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и
неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2
одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0;
π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) =
1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные: * Алгебры и их применение , * Алгебры и их применение τ * Алгебры и их применение (0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства
Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а
также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1
относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары
проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех
неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов
Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов). Глава I. Основные понятия и определения § 1. * Алгебры и их применение— алгебры
Определение * Алгебры и их применение— алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, …
называется алгеб- рой, если:
А есть линейное пространство;
в А введена операция умножения (вообще некоммутативного),
удовлет- воряющая следующим условиям:
α (x y) = (α x) y,
x (α y) = α (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z * Алгебры и их применение А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными,
если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно
пере- становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С
комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x*
алгебры А в А, что
(x*)* = x;
(x + y)* = x* + y*;
(α x)* = * Алгебры и их применение x*;
(x y)* = y*x* для любых x, y * Алгебры и их применение С.
Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется
инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х.
Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.
Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо
является биекцией А на А.
1.2. Примеры
На А = С отображение z →* Алгебры и их применение (комплексное
число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *-
алгебру.
Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) –
алгебра непре- рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на
бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {t* Алгебры и их применениеT: |f (t)| * Алгебры и их применение ε} компактно, f (t) * Алгебры и их применение А. Снабжая А отображением f→* Алгебры и их применение получаем
коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к
примеру 1).
Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра
ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к
сопряженному оператору. Тогда А — *- алгебра.
Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных
операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число
и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н)
будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (А* Алгебры и их применениеК(Н)). Алгебра
К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если
единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S* Алгебры и их применение H в себя.
Значит I не может быть компактным оператором.
Обозначим через W совокупность всех абсолютно
сходящихся рядов * Алгебры и их применение.
Алгебра W есть *- алгебра, если положить * Алгебры и их применение. (* Алгебры и их применение)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с
единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = х для всех х* Алгебры и их применениеА (1.1.)
Элемент е называют единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной
единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ — также
единица в А, то
е΄х = хе΄ = х, для всех х* Алгебры и их применениеА (1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е,
получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄
=е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно
рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
* Алгебры и их применениеДоказательство. Искомая алгебра должна содержать все
суммы х΄=αе + х, х* Алгебры и их применениеА; с другой
стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой
основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх,
(α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е
+α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется
единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х* Алгебры и их применениеА, так как по
условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как
совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х* Алгебры и их применениеА, в которой
основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при
α = 0.
* Алгебры и их применениеАлгебру А΄ можно также реализовать как
совокупность всех пар (α, х), х* Алгебры и их применениеА, в которой
основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх),
(α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),
(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2,
α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа.
Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х* Алгебры и их применениеА и не делать
различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна
первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением
единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным
элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если
xz = e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то
все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе
части равенства yx = e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1
элемента х.
1.4. Простейшие свойства * Алгебры и их применение— алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется
эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х.
Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется
идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых
элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы,
то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для
каждого х* Алгебры и их применениеА элементы хх*
и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом
виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z* Алгебры и их применениеC * Алгебры и их применение, но если z
действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде * Алгебры и их применение.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно
представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 –
эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место,
то х* = х1 +iх2, следовательно:
* Алгебры и их применение, * Алгебры и их применение (1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно,
элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.
Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами
элемента х.
Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12 + х22 — i(х2х1 – х1х2)
так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2
перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то
есть единица эрмитов элемент.
Если А — *-алгебра без единицы, а А΄ — алгебра,
полученная из А присоединением единицы, то, положив * Алгебры и их применение при х* Алгебры и их применениеА, мы
определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2.
Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра,
полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также
существует и
(х*)-1 = (х-1)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям
соотношения
х-1х = хх-1 = е,
получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.
Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если
из х* Алгебры и их применениеА1 следует,
что х** Алгебры и их применениеА1 .
Непустое пересечение *-подалгебр есть также
*-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество
S* Алгебры и их применение А, есть
минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если
она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра,
содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1* Алгебры и их применениеВ.
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми
элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу
максимальности В отсюда следует, что х-1* Алгебры и их применениеВ.
Определение 1.6. Элемент х* Алгебры и их применениеА — *-алгебры
называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х =
(х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные
числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению –
унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А,
то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1
= х-1, то х-1 унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем
гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,y* Алгебры и их применениеА, α* Алгебры и их применениеС. Если
отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А
называется левым идеалом, если:
I ≠ A;
Из х, y* Алгебры и их применениеI следует x +
y * Алгебры и их применениеI;
Из х* Алгебры и их применениеI, а α* Алгебры и их применениеА следует
α х* Алгебры и их применениеИсточники: