Домой Блог Страница 3

Знаходження мінімального остовом дерева. Порівняння алгоритму Прима і алгоритму Крускала

0

Міністерство
освіти і науки
України
Сумський
Державний
Університет
Курсова
робота
з дисципліни
«Теорія
алгоритмів
та математична
логіка»
На тему
«Знаходження
мінімального
остовом дерева.
Порівняння
алгоритму Прима
і алгоритму
Крускала»
Виконав
студент
факультету
ЕлІТ групи
ІН-83
Горбатенко
О. О.
Перевірив
Кузіков Б. О.
Суми
2010
Завдання
роботи
При
виконанні ОДЗ
необхідно
реалізувати
алгоритми Прима
та Крускала
побудови остового
дерева у графі,
та протестувати
її на тестовому
графі наведеному
у завданнях
до ОДЗ згідно
вашого варіанту.
У пояснювальній
записці до ОДЗ
повинно бути
викладено
наступне:
• Вступ.
Короткі відомості
про поняття
остового дерева;
• Завдання
роботи, Включаючи
тестовий приклад
графу, згідно
варіанта;
• Алгоритм
Прима:
◦ короткі
відомості про
алгоритм та
асимптотичну
оцінку його
швидкодії,
спосіб представлення
графу та його
обґрунтування
(10%);
◦ остове
дерево, отримане
за допомогою
алгоритму (5%);
◦ фактичні
параметри
швидкодії
(кількість
порівнянь) для
тестового
прикладу (10%);
◦ оцінку
швидкодії
реалізованого
варіанта алгоритму
(10%).
• Алгоритм
Крускала:
◦ короткі
відомості про
алгоритм та
асимптотичну
оцінку його
швидкодії,
спосіб представлення
графу та його
обґрунтування(10%);
◦ остове
дерево, отримане
за допомогою
алгоритму (5%);
◦ фактичні
параметри
швидкодії
(кількість
порівнянь) для
тестового
прикладу (10%);
◦ оцінку
швидкодії
реалізованого
варіанта алгоритму
(10%).
• Порівняння
алгортимів,
контрольні
приклади:
◦ висновок
що до умов, коли
доцільно
використовувати
той чи інший
алгоритм (10%)
◦ довільний
граф (10 або більше
вершин), на якому
алгоритм Прима
дає перевагу,
навести фактичні
параметри
швидкодії
(10%);
◦ довільний
граф (10 або більше
вершин), на якому
алгоритм Крускала
дає перевагу,
навести фактичні
параметри
швидкодії
(10%).
Поставлене
завдання: маючи
на вході граф
G, одержати на
виході його
остовне дерево
мінімальної
вартості, використати
алгоритми
Крускала й
Прима. Порівняти
використовувані
алгоритми.

Вступ
Нехай
G = (V, Е) — зв’язний
граф, у якому
кожне ребро
(u,v ) позначено
числом c(u, v), що
називається
вартістю ребра.
Остовним деревом
графа G називається
вільне дерево,
що містить всі
вершини V графа
G. Вартість остовного
дерева обчислюється
як сума вартостей
всіх ребер, що
входять у це
дерево.
Типове
застосування
остовних дерев
мінімальної
вартості можна
знайти при
розробці
комунікаційних
мереж. Тут вершини
графа представляють
міста, ребра
— можливі комунікаційні
лінії між містами,
а вартість
ребер відповідає
вартості
комунікаційних
ліній. У цьому
випадку остовне
дерево мінімальної
вартості представляє
комунікаційну
мережу, що поєднує
всі міста
комунікаційними
лініями мінімальної
вартості.
Існують
різні методи
побудови остовних
дерев мінімальної
вартості. Багато
хто з них ґрунтуються
на наступній
властивості
остовних дерев
мінімальної
вартості. Нехай
G = (V, Е) — зв’язний
граф із заданою
функцією вартості,
що задана на
множині ребер.
Позначимо через
U підмножину
вершин V. Якщо
(і, v) — таке ребро
найменшої
вартості, що
й належить U і
v належить V U,
тоді для графа
G існує остовное
дерево мінімальної
вартості, що
містить ребро
(і, v).
Існують
два популярних
алгоритми
побудови остовного
дерева мінімальної
вартості для
позначеного
графа G = (V, Е), основані
на описаній
властивості:
Прима й Крускала.
Обидва алгоритми
відповідають
«жадібній»
стратегії: на
кожному кроці
вибирається
локально найкращий
варіант.
Алгоритм
Прима
Алгоритм
Прима поступово
будує шуканий
мінімальний
остов, додаючи
до нього по
одному ребру
на кожному
кроці (Це означає,
що алгоритм
Прима є жадібним.
Більш того,
справедливість
алгоритму Прима
легко встановлюється
в рамках теорії
матроідов.). На
початку роботи
алгоритму
результуюче
дерево складається
з однієї вершини
(її можна вибирати
довільно). Алгоритм
складається
з N-1 ітерації,
на кожній з
яких до дерева
додається рівно
одне ребро, не
порушує властивості
дерева (тобто
один кінець
додається ребра
належить дереву,
а інший — не
належить). Ключовий
момент — з усіх
таких ребер
кожен раз вибирається
ребро з мінімальною
вагою. Така
реалізація
працює за O (MN).
Покращена
реалізація
буде виконуватися
помітно швидше
— за O (M log N + N2).
Для
цього ми відсортуємо
всі ребра в
списках суміжності
кожної вершини
по збільшенню
ваги (буде потрібно
O (M log M) = O (M log N)). Крім того,
для кожної
вершини заведемо
покажчик, який
вказує на перше
доступне ребро
в її списку
суміжності.
Спочатку всі
покажчики
вказують на
початку списків,
тобто рівні
0. На
i-ої ітерації
алгоритму Прима
ми перебираємо
всі вершини,
і вибираємо
найменше за
вагою ребро
серед доступних.
Оскільки всі
ребра вже
відсортовані
за вагою, а покажчики
вказують на
перші доступні
ребра, то вибір
найменшого
ребра здійсниться
за O (N). Тепер нам
слід оновити
покажчики,
оскільки деякі
з них вказують
на що стали
недоступними
ребра (обидва
кінці яких
опинилися
всередині
дерева), тобто
зрушити деякі
з них праворуч.
Проте, оскільки
у всіх списках
суміжності
в сумі 2 * M елементів,
а покажчики
зсуваються
тільки вправо,
то виходить,
що на підтримку
всіх покажчиків
потрібно O (M) дій.
Разом — час виконання
алгоритму O
(MlogM + N2 + M), тобто O (M log N +
N2)
Код
алгоритму:
void prim()
{
int i, min, j, k;
pr_count=0;
sr_count=0;
k = 0;
v[0]= 1;
for (i = 1;i< n;i++) { d[i] = a[i][0]; p[i] = 0; } for (i = 0;i a[k][j]))
{
sr_count++;
p[j] = k;
pr_count++;
d[j] = a[k][j];
pr_count++;
}
}
}
Результат
роботи програми:

Алгоритм
Крускала
Алгоритм
Крускала спочатку
поміщає кожну
вершину в своє
дерево, а потім
поступово
об’єднує ці
дерева, об’єднуючи
на кожній ітерації
два деяких
дерева деяким
руба. Перед
початком виконання
алгоритму, усі
ребра сортуються
за вагою (в порядку
неубиванія).
Потім починається
процес об’єднання:
перебираються
всі ребра від
першого до
останнього
(у порядку
сортування),
і якщо у поточного
ребра його
кінці належать
різним піддерев,
то ці піддерев
об’єднуються,
а ребро додається
до відповіді.
Після закінчення
перебору всіх
ребер всі вершини
опиняться
належать одному
піддереві, і
відповідь
знайдений.
Сортування
ребер потребують
O (M log N) операцій.
Приналежність
вершини того
чи іншого піддереві
зберігається
просто за допомогою
масиву, об’єднання
двох дерев
здійснюється
за O (N) простим
проходом по
масиву. Враховуючи,
що всього операцій
об’єднання буде
N-1, ми й отримуємо
асимптотики
O (M log N + N2).
Покращена
реалізація
використовує
структуру даних
«Система непересічних
множин» позволет
домогтися
асимптотики
O (M log N). Так само, як
і в простій
версії алгоритму
Крускала, відсортуємо
усі ребра по
неубиванію
ваги. Потім
помістимо кожну
вершину в своє
дерево (тобто
своє безліч)
на це піде в
сумі O (N). Перебираємо
усі ребра (у
порядку сортування)
і для кожного
ребра за O (1) визначаємо,
чи належать
його кінці
різних деревам
(за допомогою
двох викликів
FindSet за O (1)). Нарешті,
об’єднання двох
дерев буде
здійснюватися
викликом Union —
також за O (1). Разом
ми отримуємо
асимптотики
O (M log N + N + M) = O (M log N).
void kruskal()
{
int
k, i, p, q;
pr_count=0;
sr_count=0;
q_sort(1, m);
// сортируем
список ребер
по неубыванию
for
(i = 0;i< n;i++) // цикл по вершинам { r[i] = i; // у вершина своя компонента связности s[i] = 0; // размер компоненты связности } k = 0; // номер первого ребра + 1 for (i = 0;i< n-1;i++) // цикл по ребрам mst { do { // ищем ребра из разных k++; // компонент связности p = a[k].x; pr_count++; q = a[k].y; pr_count++; while (r[p]!=p) // ищем корень для p // { sr_count++; p = r[p]; pr_count++; } while (r[q]!=q) // ищем корень для q } { sr_count++; q = r[q]; pr_count++; } }while (p==q); printf("%d %dn",a[k].x, a[k].y); // вывод ребра mst_weight+=a[k].w; if (s[p] < s[q]) // взвешенное объединение { // компоненты связности r[p] = q; pr_count++; s[q] = s[q] + s[p]; pr_count++; } else { r[q] = p; pr_count++; s[p] = s[p] + s[q]; pr_count++; } } } Результат роботи програми:
В
результаті
виконання
програм ми
переконалися,
що вони дають
однакове мінімальне
остове дерево,
яке має вигляд:

Висновок.
Якщо
кількість
вершин достатньо
мала, то доцільніше
використовувати
алгоритм Прима,
в іншому випадку
доцільно
користуватися
алгоритмом
Крускала.
Код
програм
Алгоритм
Прима.
#include
#include
#include
#include
const int maxn =
100, inf = MAXINT/2, Max = 10000;
int a[maxn][maxn],
p[maxn], z;
int v[maxn];
int d[maxn], n,
mst_weight, pr_count, sr_count;
clock_t start, end;
void init()
{
int i, j, x, y, nn,
z;
FILE *f;
mst_weight = 0;
for (i =
0;i=x &&
x < a[j].w) j--; if (i <= j) { if (iИсточники:

Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин

0

Курсова
робота
на тему
«Знаходження
кусково-постійних
конфігурацій
множин»
Анотація
У цій
роботі були
розглянуті
основні засади
комбінаторики
та теорії множин
на основі аксіоматики
Цермело-Френкеля.
Також була
розв’язана
задача з цих
тем засобами
мови програмування
С++ та IDE C++ Builder. Це дозволило
значно покращити
мої знання з
профільних
дисциплін та
підготувати
гарного спеціаліста
для держави.
Зміст
Вступ
Основна
частина
1. Частково
впорядкована
множина
1.1 Аксіоми
частково
впорядкованої
множини
1.2 Приклади
2. Комбінаторика
2.1 Теорія
конфігурацій
і теорія перерахування
2.1.1 Правило
суми
2.1.2 Правило
добутку
2.2 Блок-схеми
Висновок
Список
використаних
джерел
Додаток
(постановка
задачі, код
програми, приклад)
Вступ
Теорія
множин — розділ
математики,
в якому вивчаються
загальні властивості
множин. Теорія
множин лежить
в основі більшості
математичних
дисциплін; вона
зробила глибокий
вплив на розуміння
предмету самої
математики.
В даний
час найпоширенішою
аксіоматичною
теорією множин
є ZFC — теорія
Цермело-Френкеля
з аксіомою
вибору. Питання
про несуперечність
цієї теорії
(а тим більше
— про існування
моделі для неї)
залишається
нерозв’язаним.
Поняття
частково
впорядкованої
множини та
кусково-постійної
конфігурації
множин є одними
з базових у
математиці
та широко
застосовуються
у різних її
галузях, а також
у суміжних
науках (кібернетиці,
економетрії
тощо).
1. Частково
впорядкована
множина
Частково
впорядкованою
множиною називається
пара
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
яка складається
з множини разом
із рефлексивним,антисиметричним
і транзитивним
бінарним відношенням
(його називають
відношення
часткового
порядку).
Таким
чином, за допомогою
відношення
ми маємо змогу
«порівнювати»
елементи P. Взагалі,
на відміну від
натуральних
або дійсних
чисел із звичайним
відношенням
порядку, у довільній
впорядкованій
множині можуть
існувати елементи,
які неможливо
порівняти. Якщо
для будь-якої
пари елементів
a, b впроваджується
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
або
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
то така
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
називается
лінійно впорядкованою
множиною.
1.1 Аксіоми
частково
впорядкованої
множини
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
(рефлексивність)
з
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
і
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
випливає a = b
(антисиметричність)
з
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
і
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
випливає з
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
(транзитивність)
Для
будь-якої частково
(відповідно,
лінійно) впорядкованої
множини
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
довільна підмножина
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
природним чином
перетворюється
на частково
(відповідно,
лінійно) впорядковану
множину
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
При цьому
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
у тоді і тільки
тоді, коли це
справджується
у Р.
1.2 Приклади
1. Множина
R дійсних чисел
із звичайним
відношенням
порядку є лінійно
впорядкованою
множиною. Це
— надзвичайно
важлива властивість
дійсних чисел.
Виявляється,
що існування
відношення
порядку сумісного
з арифметичними
операціями
і задовільняючого
певним додатковим
вимогам може
буде застосовано
для визначення
(або характерізації)
поля дійсних
чисел.
2. Натуральні
числа, цілі
числа, раціональні
числа, ірраціональні
числа, додатні
дійсні числа
тощо всі є
підмножинами
дійсних чисел,
тому утворюють
лінійно впорядковані
множини зі
звичайним
відношенням
порядку.
3. На
множині натуральних
чисел N визначимо
відношення
порядку за
подільністю,
тобто
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
тоді і тільки
тоді, коли a є
дільником b.
Таким чином
ми отримаємо
частково впорядковану
множину. Наведені
вище аксіоми
справджуються
тому, що будь-яке
натуральне
число є своїм
дільником, два
числа, які є
дільниками
одне одного,
збігаються,
і, нарешті, якщо
a є дільником
b, а b є дільником
c, то a є дільником
c. Ця множина
не є лінійно
впорядкованою,
наприклад,
жодне з чисел
2,3 не є дільником
іншого. При
цьому 1 є дільником
будь-якого
натурального
числа, тому
воно є найменшим
елементом цієї
частково
упорядкованої
множини.
4. Ланцюг
з n елементів
— це лінійно
впорядкована
множина з n
елементів. У
комбінаториці
ланцюг, який
складається
з
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин,
позначається
[n] або n.
5. Будь-яка
множина A перетворюється
на частково
впорядковану
множину, якщо
визначити на
неї таке відношення
порядку:
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
У цьому разі
можна порівняти
два елементи
A лише коли вони
збігаються.
Така частково
впорядкована
множина називається
антиланцюгом.
6. Нехай
A — це довільна
множина, а Ω(A)
— це
множина, елементами
якої є всі підмножини
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
Визначимо на
Ω(A) частковий
порядок за
вмістком, тобто
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
означає, що
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
де B, C — дві підмножини
в A. Тоді Ω(A)
перетворюється
на частково
впорядковану
множину з найменшим
елементом
порожньою
множиною та
найбільшим
елементом A.
2. Комбінаторика
Комбінаторика
є однією з
найдавніших
й, можливо, ключовою
галуззю математики.
Усякому аналізу
передує комбінаторний
розгляд, усяка
серйозна теорія
має комбінаторний
аналог.
Комбінаторика
має у своєму
розпорядженні
настільки
різноманітні
методи, вирішує
настільки
різноманітні
завдання, що
важко чітко
позначити її
границі. Умовно
в комбінаторній
теорії можна
виділити наступні
три більші
частини:
Теорію
конфігурацій,
що включає
блок — схеми,
групи підстановок,
теорію кодування.
Теорію
перерахування,
що містить
твірні функції,
теореми обігу
й вирахування
кінцевих різниць.
Теорію
порядку, що
включає кінцеві
впорядковані
множини й ґрати,
матриці й теореми
існування,
подібні до
теорем Холу
й Рамсея.
Треба
ще раз підкреслити
найвищою мірою
умовний характер
представленої
схеми. Повсюдно
можна спостерігати
взаємний зв’язок
перерахованих
розділів
комбінаторики.
Наприклад,
перерахувальна
комбінаторика
розглядає
завдання, що
ставляться
й до конфігурацій,
і до впорядкованих
множин.
2.1 Теорія
конфігурацій
і теорія перерахування
Теорія
конфігурацій
є традиційним
і найбільш
розробленим
розділом
комбінаторики.
Теорія конфігурацій
розглядає
завдання вибору
й розташування
елементів
деякого, звичайно
кінцевого,
множини, відповідно
до заданих
правил. Перерахувальна
комбінаторика
основним методом
дослідження
проголосила
метод твірних
функцій, використовуючи
який було доведено
величезне число
комбінаторних
тотожностей.
Елементарними
комбінаторними
конфігураціями
є сполучення,
розміщення,
перестановки.
Для підрахунку
числа цих
конфігурацій
використовуються
правила суми
й добутку.
2.1.1 Правило
суми
Якщо
елемент A можна
вибрати m способами,
а елемент B можна
вибрати k способами,
то вибір елемента
A або B можна
здійснити m + k
способами.
Правило
суми можна
перефразувати
теоретико-множинною
мовою. Позначимо
через | A | число
елементів
множини A, через
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
— об’єднання
множин A і B, через
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
— декартовий
добуток множин
A і B. Тоді для
непересічних
множин A і B виконується
рівність:
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
Узагальненням
правила суми
є правило добутку.
2.1.2 Правило
добутку
Якщо
елемент A можна
вибрати m способами,
а після кожного
вибору елемента
A елемент B можна
вибрати k способами,
тоді, упорядковану
пару елементів
(A, B) можна вибрати
m*k способами.
Правило
добутку можна
поширити на
вибір послідовності
(x1, x2, …, xn) довільної
кінцевої довжини
n.
Теоретико-множинною
мовою правило
добутку формулюється
так:
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
2.2 Блок-схеми
Комбінаторні
конфігурації
найбільш загального
виду були досліджені
в 30- е роки XX сторіччя
й були названі
блок-схемами
(block desіgn). Блок-схеми
складаються
з наборів елементів,
називаних
блоками. Вибір
елементів і
пара елементів
у блоки підкоряються
певним правилам.
Урівноваженою
неповною блок-схемою
називається
таке розміщення
v різних елементів
по b блоках, що
кожний блок
містить точно
k різних елементів,
кожний елемент
з’являється
точно в k різних
блоках і кожна
пара різних
елементів ai
, aj з’являється
точно в блоках.
Множина
всіх
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
сполучень із
v елементів по
k, узятих як блоки,
утворить повну
блок-схему.
Частина цих
сполучень, у
яких кожна пара
ai , aj з’являється
одне й те саме
число раз, є
неповною, але
врівноваженою
блок-схемою.
Між п’ятьома
параметрами
блок-схеми
виконуються
наступні два
співвідношення:
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
Частинним
випадком блок-схем
є так звані
скінченні
площини. Виберемо
скінченну
множину P. Елементи
з P назвемо точками.
Деякі підмножини
з P назвемо прямими.
Нехай відношення
інцидентності
між точками
й прямими задовольняє
наступним
геометричним
аксіомам.
На
кожній прямій
лежить n точок
B.
Через
кожну точку
проходять n
прямих.
Будь-які
дві прямі
перетинаються
в одній точці.
Через
будь-які дві
точки проходить
єдина пряма.
Існують
4 точки неколлінеарні
по трьох.
Тоді
кінцева множина
P точок і множина
L прямих утворить
кінцеву проективну
площину.
Для
знаходження
кусково-постійних
конфігурацій
множин треба
спочатку на
множині усіх
множин ввести
Р(D) лінійні бінарні
відношення
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
та =. Матимемо
частково впорядковану
множину
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин.
Потім знаходимо
ті групи множин,
які у заданій
конфігурації
розташовані
поряд і які
рівні – це й
будуть «куски»
постійності
у конфігурації
множин, а сама
така конфігурація
називається
кусково-постійною.
Висновок
У процесі
роботи над цим
твором я навчився
програмувати
засобами IDE C++
Builder з допомогою
вбудованого
GUI, функцій та
класів. Для
розв’язання
задачі знадобились
знання з комбінаторики
та теорії множин,
які я освіжив
також при опрацюванні
теоретичної
частини курсового
проекту. Було
досягнуто
значних успіхів
у поглибленні
розуміння
підґрунтя
математики
та кібернетики,
був зроблений
крок до підготовки
ще одного гідного
випускника
нашого славного
вишу.
Список
використаних
джерел
embarcadero/ru/products/cbuilder
Александров
П. С. Введение
в теорию множеств
и общую топологию.
— М.: «НАУКА»,
1977. — 368 с.
Андерсон
Джеймс Дискретная
математика
и комбинаторика
= Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.:
«Вильямс», 2006.
— С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
Виленкин
Н.Я. Популярная
комбинаторика.
— М.: Наука, 1975.
Джаррод
Холингворт,
Боб Сворт, Марк
Кэшмэн, Поль
Густавсон
Borland C++ Builder 6. Руководство
разработчика
= Borland C++ Builder 6 Developer’s Guide. — М.:
«Вильямс», 2004.
— С. 976. — ISBN 0-672-32480-6
Джерод
Холлингворс,
Дэн Баттерфилд,
Боб Свот C++ Builder 5.
Руководство
разработчика
= C++ Builder 5 Developer’s Guide. — М.:
«Диалектика»,
2001. — С. 884. — ISBN 0-672-31972-1
Ерош
И. Л. Дискретная
математика.
Комбинаторика
— СПб.: СПбГУАП,
2001. — 37 c.
Колмогоров
А. Н., Фомин С. В.
Элементы теории
функций и
функционального
анализа. — 7-е
изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ»,
2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
Р.
Стенли Перечислительная
комбинаторика
= Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир»,
1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
Рейнгольд
Э., Нивергельт
Ю., Део Н. Комбинаторные
алгоритмы.
Теория и практика.
— М.: Мир, 1980. — 476 с.
Риордан
Дж. Введение
в комбинаторный
анализ. — пер.
с англ.. — М.:
1963.Хаусдорф Ф.
Теория множеств.
— 4-е изд. — М.: УРСС,
2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2
Додаток
(постановка
задачі, код
програми, приклад)
Постановка
задачі
Нехай
маємо «n»кульок
і три ящики
А1,А2,А3. Встановити
число способів
Рn можна розмістити
кульки так щоб
у перших двох
ящиках була
однакова к-сть
кульок
Код
програми
//—————————————————————————
//Нехай
маємо «n»кульок
і три ящики
А1,А2,А3.Встановити
число способів
//Рn можна
розмістити
кульки так щоб
у перших двох
ящиках була
однакова к-сть
кульок
#include
#pragma hdrstop
#include «Unit1.h»
//—————————————————————————
#pragma
package(smart_init)
#pragma resource
«*.dfm»
TForm1 *Form1;
//—————————————————————————
__fastcall
TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{
}
//—————————————————————————
#include «stdio.h»
int n=1, Pn=0;
int f(int n)
{
int r=1;
for(int
i=1;i<=n;++i) { r=r*i; } return r; } int A(int n, int k) { return f(n)/f(n-k); } void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender) { int n=Edit1->Text.ToInt(), Pn=A(n,2);
for(int
i=0;i<=n/2;++i) { Pn+=A(n,i)*A(n-i,i); } AnsiString as = "Відповідь: "+IntToStr(Pn); ShowMessage(as); } //--------------------------------------------------------------------------- Приклад Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин

Источники:

Значения тригонометрических функций

0

Величины углов (аргументы функций): (alpha)
Тригонометрические функции: (sin alpha), (cos alpha), (tan alpha), (cot alpha), (sec alpha), (csc alpha)

Источники:

Значение решения проблемы V постулата Евклида

0

Министерство
по науке и
образованию
Российской
Федерации
Федеральное
агентство по
образованию
Государственное
образовательное
учреждение
высшего профессионального
образования
Дальневосточный
государственный
гуманитарный
университет
Институт
математики
физики и информационных
технологий
Кафедра
геометрии
Реферат
На тему:
«Значение
решения проблемы
V постулата
Евклида»
Выполнила
студентка
ИМФиИТ
3 курса ОЗО
О.В.Крылик
Проверил:
Доцент кафедры
геометрии
Т.А.Тимошенко
ХАБАРОВСК
2008
Длительные
неудачи разнообразных
попыток вывести
пятый постулат
Евклида из
остальных
аксиом и постулатов
евклидовой
геометрии
подготовили
почву для
принципиально
иной постановки
вопроса о проблеме
параллельных
линий. Происходило
постепенное
перерастание
задачи доказательства
пятого постулата
в противоположную
задачу: установления
его логической
недоказуемости.
Сама природа
вопроса наталкивала
исследователей
на поиски решения
на других путях,
иногда помимо
их намерений
или даже наперекор
им.
Идея недоказуемости
пятого постулата
Евклида с начала
XVIII века проявляется
во всё более
отчётливой
форме и во всё
более содержательном
виде, пока не
приводит к
окончательному
утверждению
логической
возможности
новой геометрии,
где пятый постулат
Евклида не
имеет места.
К началу XIX века
«проблема
пятого постулата»
Евклида настолько
назрела, что
была решена
почти одновременно
и независимо
друг от друга
несколькими
различными
лицами.
Возможно,
что и сам Евклид
пытался доказать
постулат о
параллельных.
В пользу этого
говорит то
обстоятельство,
что первые 28
предложений
«Начал» не
опираются на
пятый постулат;
Евклид как бы
старался отодвинуть
применение
этого постулата
до тех пор, пока
использование
его не станет
настоятельно
необходимым.
Со времён
Евклида до
конца XIX столетия
проблема пятого
постулата
являлась одной
из самых популярных
проблем геометрии.
За этот период
было предложено
множество
различных
доказательств
пятого постулата.
Однако все они
были ошибочны.
Обычно авторы
этих доказательств
использовали
какое-нибудь
геометрическое
утверждение,
которое оказывалось
столь наглядно
очевидным, что
проскальзывало
в рассуждениях
незаметно для
самого автора.
Вместе с тем
попытка логически
доказать такое
утверждение,
в свою очередь
не опираясь
на пятый постулат,
всегда оканчивалась
неудачей.
Конечно,
подобные исследования
не достигали
намеченной
цели, так как
смысл проблемы
заключался
в освобождении
евклидовой
теории параллельных
от специального
постулата, и,
таким образом,
дело здесь было
не в том, чтобы
заменить пятый
постулат другим
утверждением,
хотя бы оно и
было весьма
очевидным, а
в том, чтобы
доказать этот
постулат, исходя
из остальных
постулатов
геометрии.
Нужно заметить,
впрочем, что
многочисленные
попытки доказательства
пятого постулата,
несмотря на
их тщётность,
привели к известным
положительным
результатам.
Характерными
для периода
зарождения
идеи недоказуемости
пятого постулата
являются работы
итальянского
учёного монаха
Джероламо
Саккери (1667 –
1733), выпущенные
им в свет в 1733 году
под названием
«Евклид, очищенный
от всяких пятен».
Само название
сочинения
указывает на
замысел Саккери:
довести евклидову
геометрию до
логического
совершенства,
причём, конечно,
имелось в виду
в первую очередь
устранить
сомнения, связанные
с пятым постулатом,
путём его
доказательства.
С этой целью
Саккери применяет
метод доказательства
от противного.
В основе его
рассуждений
лежит изучение
свойств четырёхугольника
ABCD,
Где
==
и AB=CD. Эта фигура
получила название
«четырёхугольника
Саккери» (хотя
О. Хайам рассматривал
эту фигуру ещё
в XII веке). Рассматривая
прямую MN, проведённую
перпендикулярно
к прямой AD через
середину отрезка
AD, путём перегибания
чертежа по
прямой MN легко
убедиться, что
эта прямая
служит осью
симметрии
фигуры, так что
=
и BN=CN.
Относительно
равных углов
ABC и DCB Саккери три
логически
возможных
допущения:
=>
(гипотеза тупого
угла),
==
(гипотеза прямого
угла),
=<
(гипотеза острого
угла).
Из «гипотезы
тупого угла»
Саккери выводит,
что сумма углов
треугольника
равна

и, следовательно,
сумма углов
четырёхугольника
равна
,
так что эта
гипотеза
противоречива
(по его словам,
«сама себя
убивает») и
должна быть
отброшена.
Саккери
устанавливает
далее, что гипотеза
прямого угла
влечёт пятый
постулат Евклида.
Поэтому для
доказательства
пятого постулата
остаётся только
опровергнуть
гипотезу острого
угла. С этой
целью Саккери
далеко развивает
систему следствий
из этой гипотезы,
стремясь прийти
к противоречию.
Несмотря на
непривычность
получаемых
результатов,
ожидаемое
противоречие
не возникает…
В конце концов
Саккери изменяет
чувство строгости,
характерное
для его сочинения,
он пускается
в туманные
заключения
о бесконечно
удалённых
точках и без
достаточного
основания
делает вывод,
что «гипотеза
острого угла
противоречит
природе прямой
линии». Объективно
Саккери пришёл
к результату,
противоречащему
поставленной
им цели: развивая
следствия из
гипотезы острого
угла, он получил,
не отдавая себе
в этом отчёта,
ряд предложений
новой геометрии.
В ходе дальнейших
исследований
идеи новой,
неевклидовой
геометрии всё
более определённо
заявляют о
праве на существование,
их логическая
правомерность
выделяется
всё рельефнее.
Швейцарский
учёный Иоганн
Генрих Ламберт
(1728 – 1777) рассматривал
четырёхугольник,
три угла которого
прямые. Относительно
четвёртого
угла он, подобно
Саккери, рассматривает
три логически
возможных
предположения
(гипотезы).
Ламберт
заметил, что
гипотеза тупого
угла реализуется
на сфере, если
рассматривать
на ней дуги
больших окружностей
в качестве
прямых.
В отличие
от Саккери
Ламберт отчётливо
понимал, что
гипотезу острого
угла ему опровергнуть
не удалось. По
этому поводу
он замечает:
«Должна же
существовать
причина, почему
она не поддаётся
опровержению…
Гипотеза острого
угла влечёт
за собой существование
абсолютной
меры длины. В
этом есть нечто
восхитительное,
что вызывает
даже желание,
чтобы третья
гипотеза была
справедлива…
Я готов предположить,
что она имеет
место на какой-то
мнимой сфере».
Это предположение
Ламберта в
дальнейшем
оправдалось
самым замечательным
образом.
Швейкарт
(1780-1859, профессор
права в Харьковском
университете
с 1812 по 1817 г.) и Тауринус
(1794-1874) уже прямо
рассматривают
геометрию, где
сумма углов
треугольника
не равна
.
Швейкарт называет
свою геометрию
«астральной»
(звёздной), желая
этим, по-видимому,
подчеркнуть,
что он не считает
её реально
осуществимой
в земных условиях.
Тауринус строит
свою «логарифмо-сферическую»
геометрию на
сфере мнимого
радиуса.
Были и другие
авторы, исследовавшие
ту или иную
сторону новых
геометрических
предположений,
но их работы
не составляли
решительного
шага в области
оснований
геометрии, не
знаменовали
сколь-нибудь
значительного
перелома в
воззрениях
на геометрию.
Чтобы широко
раскрыть систему
новой геометрии,
чтобы показать
возможность
существования
какой-либо иной
геометрии,
помимо веками
складывавшейся
и утверждавшейся
в общественном
сознании евклидовой
геометрии,
нужно было
достигнуть
в новой геометрии
такой же стройности
и законченности.
Среди работ,
посвящённых
новой геометрии,
выделяется
работа, известная
под названием
«Аппендикс»,
написанная
венгерским
математиком
Яношем Бояи
в 1832 году. Отец
Яноша, Фаркаш
Бояи, всю жизнь
занимался
доказательством
пятого постулата
Евклида, но,
конечно, не
достиг цели.
Будучи разочарованным
в этой проблеме,
он убедительно
и страстно
отговаривал
сына от занятий
теорией параллельных.
«Молю тебя, не
делай и ты попытку
одолеть теорию
параллельных.
Ты затратишь
на это всё своё
время… Я изучил
все пути до
конца. Я не встретил
ни одной идеи,
которая бы не
была разработана
мною. Я прошёл
весь беспросветный
мрак этой ночи,
и всякий светоч,
всякую радость
жизни я в ней
похоронил. Ради
бога, молю тебя,
оставь эту
тему, страшись
её. Этот беспросветный
мрак… никогда
не проясниться
на земле…» —
писал он сыну.
Но молодой Бояи
пошёл другим
путём: он строил
геометрию,
«излагающую
абсолютно
верное учение
о пространстве,
независимое
от правильности
или ложности
пятого постулата
Евклида». И уже
в 1828 году, в возрасте
21 года, он писал
отцу: «Я получил…
замечательные
результаты…
из ничего я
создал целый
мир». И действительно,
небольшое
сочинение
Я.Бояи, увидевшее
свет только
в 1832 году, содержит
довольно развитое
и систематическое
изложение основ
новой геометрии.
Но это сочинение
осталось в своё
время незамеченным,
не было понято
современниками
Бояи.
Необходимы
были огромное
гражданское
мужество,
убеждённость
и самоотверженная
настойчивость
в пропаганде
идей новой
геометрии,
чтобы преодолеть
косность
современников
и вековые традиции
геометрии.
Характерна
в истории открытия
неевклидовой
геометрии роль
одного из крупнейших
математиков
того времени
К.Ф.Гаусса
(1777-1855). Он много лет
занимался
теорией параллельных
и ещё в 1824 году
писал Тауринусу:
«Допущение,
что сумма углов
треугольника
меньше
,
приводит к
своеобразной
геометрии; эта
геометрия
совершенно
последовательна,
и я развил её
для себя вполне
удовлетворительно».
Однако за всю
свою жизнь
Гаусс среди
множества своих
научных работ
не решился
опубликовать
ни одного
исследования
по неевклидовой
геометрии. «Я
боюсь крика
беотийцев,
который поднимется,
когда я выскажу
свои воззрения»,-
писал он Бесселю,
намекая на
ограниченность
современных
математических
кругов. Осторожность
Гаусса в отношении
к вопросам
неевклидовой
геометрии не
только не позволила
ему выступить
от своего имени,
но помешала
даже поддержать
своим авторитетом
других новаторов
геометрии: он
умалчивал об
их открытиях
и расхолаживал
обращавшихся
к нему авторов
в их намерениях.
«Осы, гнездо
которых вы
разрушаете,
подымутся над
Вашей головой»,-
писал он Герлингу,
приславшему
ему свою работу
о параллельных.
Восторженно
отзываясь в
одном из частных
писем об «Аппендиксе»
и называя молодого
Бояи «гением
первой величины»,
Гаусс тем не
менее не оказал
ему необходимой
моральной
поддержки и
в отзыве, направленном
его отцу, выражался
очень сдержанно
и подчёркивал,
что открытия
Яноша для него
лично не являются
новыми.
Подлинным
творцом неевклидовой
геометрии, её
систематизатором
и первым пропагандистом
был наш великий
соотечественник
Николай Иванович
Лобачевский.
Н.И.Лобачевский
и его геометрия.
До начала XIX
столетия ни
одна из попыток
доказать пятый
постулат не
привела к желаемому
результату.
Несмотря на
усилия геометров,
потраченные
на протяжении
более чем двадцати
веков, задача
обоснования
теории параллельных,
по существу,
оставалась
всё в той же
стадии, как и
во времена
Евклида.
Но первые
же десятилетия
XIX века принесли,
наконец, решение
проблемы пятого
постулата;
только решение
это оказалось
таким, какого
не ждал и к какому
не был подготовлен
математический
мир этой эпохи.
Слава решения
этой знаменитой
проблемы принадлежит
профессору
Казанского
университету
Николаю Ивановичу
Лобачевскому
(1793-1856). В его докладе
физико-математическому
факультету
Казанского
университета,
публиковавшихся,
начиная с 1829 года,
впервые отчётливо
выражена и
подтверждена
мысль о том,
что пятый постулат
не может быть
выведен из
остальных
постулатов
геометрии.
Чтобы доказать
это, Лобачевский,
сохраняя основные
посылки Евклида,
кроме постулата
параллельных
не осуществляется,
и строит логическую
систему, предложения
которой являются
следствиями
принятых посылок.
Многие из
предложений,
которые получил
Лобачевский,
встречались
у Саккери и
Ламберта при
развитии гипотезы
острого угла.
Это и понятно,
так как гипотеза
острого угла
Саккери и исходные
посылки Лобачевского
эквивалентны.
Но в то время,
как Саккери
ставил себе
целью показать,
что гипотеза
острого угла
ведёт к противоречию
и должна быть
отвергнута
как логически
недопустимая,-
Лобачевский,
развивая систему
своих теорем,
устанавливает,
что эта система
представляет
собой новую
геометрию (он
назвал её
«Воображаемой»),
которая, как
и евклидова,
свободна от
логических
противоречий.
Воображаемую
геометрию
Лобачевский
развил до таких
же пределов,
до каких была
развита геометрия
Евклида. При
этом Лобачевский
не встретил
в ней каких-либо
логических
противоречий.
Однако он отчётливо
понимал, что
это обстоятельство
само по себе
не доказывает,
что Воображаемая
геометрия
действительно
непротиворечива,
так как если
противоречия
имеются, то
заранее нельзя
предвидеть,
на какой стадии
развёртывания
системы они
могут обнаружиться.
Чтобы доказать
непротиворечивость
своей геометрии,
Лобачевский
предпринял
глубокий
алгебраический
анализ основных
её уравнений
и тем самым дал
решение этого
вопроса в такой
мере удовлетворительное,
в какой это
было возможно
для того времени.
Доказательство
непротиворечивости
геометрии
Лобачевского
на современном
уровне строгости
дано в конце
XIX века после
установления
общих принципов
логического
обоснования
геометрии.
Результаты
исследований
Лобачевского
можно резюмировать
следующим
образом:
Постулат
о параллельных
не является
необходимым
следствием
остальных
постулатов
геометрии (как
говорят, логически
от них не зависит).
Пятый постулат
именно не вытекает
из остальных
постулатов,
что наряду с
геометрией
Евклида, в которой
этот постулат
верен, возможна
другая, «Воображаемая»
геометрия, в
которой не
имеет места.
Лобачевский
был учёным-материалистом.
Материалистические
взгляды он явно
и настойчиво
высказывал
в своих сочинениях.
Он безоговорочно
отвергал возможность
априорных
знаний, в частности,
кантианский
тезис о том,
что наши пространственные
представления
являются врождёнными
и не имеют опытного
происхождения.
«Первые понятия,
с которых начинается
какая-нибудь
наука,- пишет
Лобачевский,-
должны быть
ясны, и приведены
к самому меньшему
числу. Тогда
они могут служить
прочным и достаточным
основанием
учения. Такие
понятия приобретаются
чувствами;
врождённым
– не должно
верить» («О
началах геометрии»,
1829).
Лобачевский
глубоко и тонко
понимал соотношение
между геометрией
Евклида и своей
неевклидовой
геометрией:
обе геометрии
логически
непротиворечивы,
и поэтому безнадёжны
всякие попытки
логически
доказать, что
единственно
истинной является
только первая
из них; вопрос
же о том, какая
из этих геометрий
более соответствует
свойствам
реального
пространства,
должен быть
решён опытом.
«В моём сочинении
о началах геометрии,-
пишет Лобачевский,-
я доказывал,
основываясь
на некоторых
астрономических
наблюдениях,
что в треугольнике,
которого бока
почти таковы,
как расстояние
от Земли до
Солнца, сумма
углов может
разниться от
двух прямых
не более
,0003
в шестидесятичных
секундах градуса.
Предположение
употребительной
Геометрии
надобно, следовательно,
почитать как
бы строго доказанным,
а вместе быть
убеждену и в
том, что независимо
от опыта, напрасно
было бы искать
доказательства
на такую истину,
которая ещё
не заключается
сама собою в
нашем понятии
о телах» («Воображаемая
геометрия»,
1835).
Лобачевский
называл геометрию
Евклида «Употребительной»,
а свою – «воображаемой».
Это не означает,
однако, что он
считал свою
геометрию
замкнутой в
себе чисто
логической
системой. Лобачевский
усматривал
в ней полезный
инструмент
для математического
анализа и в
этом плане
написал обширную
работу «Применение
воображаемой
геометрии к
некоторым
интегралам»
(1836). Интересно
отметить, что
в таблицах
определённых
интегралов
Биеренс де
Хаана содержится
свыше 200 интегралов,
которые были
вычислены и
опубликованы
Лобачевским.
В настоящее
время были
известны глубокие
связи геометрии
Лобачевского
с разнообразными
разделами
математики,
а также теоретической
физикой.
Идеи Лобачевского
современным
ему геометрам
казались
парадоксальными
и встретили
только иронию.
Понять и оценить
его работы
могли очень
немногие; среди
них должны быть
отмечены Гаусс
и Я. Больяй, которые
занимались
теорией параллельных
независимо
друг от друга
и независимо
от Лобачевского.
Гауссу был ясен
замысел новой
геометрии,
однако он не
дал этому замыслу
достаточного
развития, оставив
только наброски
отдельных,
наиболее элементарных
теорем. Он даже
не опубликовал
своих взглядов
на основы геометрии,
боясь остаться
непонятым. Я.
Больяй издал
свою работу
через три года
после первой
публикации
Лобачевского.
В своей работе
Я. Больяй изложил
ту же теорию,
что и Лобачевский,
но не в столь
развитой форме.
Как и Лобачевский,
Больяй не получил
признания и
сам нуждался
в поддержке.
Учёный мир
оценил значение
исследований
Лобачевского
лишь после его
смерти. А значение
это исключительно.
До Лобачевского
евклидова
геометрия
представлялась
единственно
мыслимым учением
о пространстве.
Открытие воображаемой
или, как её обычно
называют,
неевклидовой
геометрии
уничтожило
эту точку зрения.
Тем самым было
положено начало
далеко идущим
обобщением
взглядов на
геометрию и
её предмет,
которые привели
к современному
понятию абстрактного
пространства
с его многочисленными
применениями
внутри математики
и в смежных с
нею областях.
В цепи этих
обобщений
неевклидова
геометрия
Лобачевского
явилась первым
и определяющим
звеном.
Список литературы
1.
«Высшая геометрия»
Н.В. Ефимов.

Источники:

Значение математических приемов статистического исследования в современных условиях

0

1. Математические приемы и способы экономического анализа и область их
применения
Способы
и приемы экономического анализа можно условно подразделить на две группы:
традиционные и математические. В число основных традиционных способов и приемов
экономического анализа можно включить использование абсолютных, относительных и
средних величин; применения сравнения, группировки, индексного метода, метода
цепных подстановок. Это такие способы и приемы, которое нашли применение почти
с момента возникновения экономического анализа как обособленной отрасли
специальных знаний. Многие математические способы вошли в круг аналитических
разработок значительно позже, когда был налажен выпуск быстродействующих ЭВМ
(1, с.46).
Широкое
использование математических методов является важным направлением
совершенствования экономического анализа деятельности предприятий и их
подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа,
более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности,
замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и
решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или
традиционными методами.
Рассмотрим
наиболее часто встречающиеся математические приемы и способы экономического
анализа.
Методы
элементарной математики (дифференциальное и интегральное исчисление,
вариационное исчисление) используются в обычных традиционных экономических
расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство,
разработке планов, проектов, при балансовых расчетах и т.д.
Значительное
распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики.
Эти методы применяются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей
можно представить как случайный процесс. Статистические методы, являясь
основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль
в прогнозировании поведения экономических показателей. Наибольшее
распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе
получили методы множественного и парного корреляционного анализа. Для изучения
одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы
распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических
совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный,
факторный виды анализа (1, с.96).
Эконометрические
методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и
статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой
понимается схематическое представление экономического явления или процесса с
помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее
распространение в современной экономике получил метод анализа экономики
«затраты — выпуск». Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по
шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить
взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость
экономической интерпретации — главные особенности матричных моделей.
Метода
математического программирования — основное средство решения задач оптимизации
производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы — средство
плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения
бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых
заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов,
получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т.д.
Также
в экономическом анализе используется метод исследования операций. Под
исследованием операций понимаются разработка методов целенаправленных действий
(операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего.
Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе
производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое
сочетание структурных, взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей
степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда
возможных (1, с.96).
Теория
игр как раздел исследования операций — это теория математических моделей
принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта
нескольких сторон, имеющих различные интересы.
Теория
массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические
методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из
структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как
объект системы обслуживания.
Экономическая
кибернетика анализирует экономические явления и процессы в качестве очень
сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения
информации в них.
Наибольшее
распространение в экономическом анализе получили методы моделирования и
системного анализа. Используются главным образом математические модели,
описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств,
функций и других математических средств. Моделирование и анализ периодических
колебаний экономических показателей имеют большое значение в управлении
хозяйственной деятельностью, в частности на предприятиях с сезонным характером
производства, в торговле. Для моделирования периодических колебаний применяются
методы спектрального и гармонического анализа. Такие исследования позволяют
более точно и обоснованно разрабатывать плановые задания, уточнять мероприятия
по улучшению организации труда и производства (1, с.115).
Значение
Математической статистики и ее новых разделов в современных условиях.
Приведем
краткие описания (типа статей в энциклопедических изданиях) математической
статистики и ее наиболее важных для эконометрики сравнительно новых разделов,
разработанных в основном после 1970
г., а именно, статистики объектов нечисловой природы и
статистики интервальных данных.
Статистика
математическая — наука о математических методах анализа данных, полученных при
проведении массовых наблюдений (измерений, опытов). В зависимости от
математической природы конкретных результатов наблюдений статистика
математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ,
анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой
природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных
моделях.
Выделяют
общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и
более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований,
восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций
(типологий) и др.
Для
описания данных строят таблицы, диаграммы, иные наглядные представления,
например, корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются.
Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности
современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластер-анализ,
нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное
шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости, в
наименьшей степени исказив расстояния между ними.
Методы
оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения
данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В
параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются
функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых
параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются
произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и
характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию,
квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между
переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а
также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих
зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для
истинных значений) оценки.
В
статистике математической есть общая теория проверки гипотез и большое число
методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о
значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (т.е. о
совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии
эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с
параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое
значение для эконометрики имеет раздел статистики математической, связанный с
проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации
выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
Задачи
восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента
разработки К. Гауссом в 1794
г. метода наименьших квадратов. В настоящее время
наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические
методы.
Различные
методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный
анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов
(с учителем и без), автоматической классификации и др.
Математические
методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной
Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний,
метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно
лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую
роль в статистике математической. Они используются как для расчетов, так и для
имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при
изучении пригодности асимптотических результатов).
Классическая
статистика математическая лучше всего представлена в [2,4]. По историческим
причинам основные российские работы публикуются в [3]. Обзор современного
состояния статистики математической дан в [6].
Статистика
объектов нечисловой природы — раздел математической статистики, в котором
статистическими данными являются объекты нечисловой природы, т.е. элементы
множеств, не являющихся линейными пространствами. Объекты нечисловой природы
нельзя складывать и умножать на число. Примерами являются результаты измерений
в шкалах наименований, порядка, интервалов; ранжировки, разбиения,
толерантности и другие бинарные отношения; результаты парных и множественных
сравнений; люсианы, т.е. конечные последовательности из 0 и1; множества;
нечеткие множества. Необходимость применения объектов нечисловой природы
возникает во многих областях научной и практической деятельности, в том числе и
в социологии. Примерами являются ответы на «закрытые» вопросы в
эконометрических, маркетинговых, социологических анкетах, в которых респондент
должен выбрать одну или несколько из фиксированного числа подсказок, мили
измерение мнений о привлекательности (товаров, услуг, профессий, политиков и
др.), проводимое по порядковой шкале. Наряду со специальными теориями для каждого
отдельного вида объектов нечисловой природы в статистике объектов нечисловой
природы имеется и теория обработки данных, лежащих в пространстве общей
природы, результаты которой применимы во всех специальных теориях.
В
статистике объектов нечисловой природы классические задачи математической
статистики — описание данных, оценивание, проверку гипотез — рассматривают для
данных неклассического типа, что приводит к своеобразию постановок задач и
методов их решения. Например, из-за отсутствия линейной структуры в
пространстве, в котором лежат статистические данные, в статистике объектов
нечисловой природы математическое ожидание определяют не через сумму или
интеграл, как в классическом случае, а как решение задачи минимизации некоторой
функции. Эта функция представляет собой математическое ожидание (в классическом
смысле) показателя различия между значением случайного объекта нечисловой
природы и фиксированным элементом пространства. Эмпирическое среднее определяют
как результат минимизации суммы расстояний от нечисловых результатов наблюдений
до фиксированного элемента пространства. Справедлив закон больших чисел:
эмпирическое среднее сходится при увеличении объема выборки к математическому
ожиданию, если результаты наблюдений являются независимыми одинаково
распределенными случайными объектами нечисловой природы и выполнены некоторые
математические «условия регулярности».
Аналогичным
образом определяют условное математическое ожидание и регрессионную
зависимость. Из доказанной в статистике объектов нечисловой природы сходимости
решений экстремальных статистических задач к решениям соответствующих
предельных задач вытекает состоятельность оценок в параметрических задачах
оценивания параметров и аппроксимации, а также ряд результатов в многомерном
статистическом анализе. Большую роль в статистике объектов нечисловой природы
играют непараметрические методы, в частности, методы непараметрической оценки
плотности и регрессионной зависимости в пространствах общей природы, в том
числе и в дискретных пространствах.
Для
решения многих задач статистики объектов нечисловой природы — нахождения
эмпирического среднего, оценки регрессионной зависимости, классификации
наблюдений и др. — используют показатели различия (меры близости, расстояния,
метрики) между элементами рассматриваемых пространств, вводимые аксиоматически.
Так, в монографии [7] аксиоматически введено расстояние между множествами.
Принятое в теории измерений как части статистики объектов нечисловой природы
условие адекватности (инвариантности) алгоритмов анализа данных позволяет
указать вид средних величин, расстояний, показателей связи и т.д.,
соответствующих измерениям в тех или иных шкалах. Методы построения, анализа и
использования классификаций и многомерного шкалирования дают возможность сжать
информацию и дать ей наглядное представление. К статистике объектов нечисловой
природы относятся методы ранговой корреляции, статистического анализа бинарных
отношений (ранжировок, разбиений, толерантностей), параметрические и
непараметрические методы обработки результатов парных и множественных
сравнений. Теория люсианов (последовательностей независимых испытаний Бернулли)
развита в асимптотике растущей размерности.
Статистика
объектов нечисловой природы как самостоятельный раздел прикладной
математической статистики выделена в монографии [7]. Обзору ее основных
направлений посвящен, например, сборник [8]. Ей посвящен раздел в энциклопедии
[2].
Статистика
интервальных данных (СИД) — раздел статистики объектов нечисловой природы, в
котором элементами выборки являются интервалы в R, в частности, порожденные
наложением ошибок измерения на значения случайных величин. СИД входит в теорию
устойчивости (робастности) статистических процедур (см. [7]) и примыкает к
интервальной математике (см. [9]). В СИД изучены проблемы регрессионного
анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в
условиях интервальной неопределенности и др. (см.[10-13]).
Развиты
асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших
объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической
математической статистики, сначала устремляется к бесконечности объем выборки и
только потом — уменьшаются до нуля погрешности. Разработана общая схема
исследования (см. [14]), включающая расчет двух основных характеристик СИД — н
о т н ы (максимально возможного отклонения статистики, вызванного
интервальностью исходных данных) и р а ц и о н а л ь н о г о о б ъ е м а в ы б
о р к и (превышение которого не дает существенного повышения точности
оценивания и статистических выводов, связанных с проверкой гипотез). Она
применена к оцениванию математического ожидания и дисперсии, медианы и
коэффициента вариации, параметров гамма-распределения в ГОСТ 11.011-83 [15] и
характеристик аддитивных статистик, для проверки гипотез о параметрах
нормального распределения, в т.ч. с помощью критерия Стьюдента, а также
гипотезы однородности двух выборок по критерию Смирнова, и т.д.. Разработаны
подходы СИД в основных постановках регрессионного, дискриминантного и
кластерного анализов (см. [16]).
Многие
утверждения СИД отличаются от аналогов из классической математической
статистики. В частности, не существует состоятельных оценок: средний квадрат
ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии этой оценки,
рассчитанной согласно классической теории, и квадрата нотны. Метод моментов
иногда оказывается точнее метода максимального правдоподобия (см. [15, 17]).
Нецелесообразно с целью повышения точности выводов увеличивать объем выборки
сверх некоторого предела. В СИД классические доверительные интервалы должны
быть расширены вправо и влево на величину нотны, и длина их не стремится к 0
при росте объема выборки.
Многим
задачам классической математической статистики могут быть поставлены в
соответствие задачи СИД, в которых элементы выборок — действительные числа
заменены на интервалы. В статистическое программное обеспечение включают
алгоритмы СИД, «параллельные» их аналогам из классической
математической статистики. Это позволяет учесть наличие погрешностей у результатов
наблюдений.
Организационная работа в статистическом наблюдении
Успех
любого статистического наблюдения зависит не только от тщательности
методологической подготовки, но и от правильного и своевременного решения
широкого спектра организационных вопросов.
Важнейшее
место в организационной работе занимает подготовка кадров, в процессе которой
проводятся различного рода инструктажи с сотрудниками статистических органов, с
организациями, представляющими данные, по вопросам заполнения статистических
документов, подготовки материалов наблюдения к автоматизированной обработке и
т. д.
Если
проведение наблюдения связано с большими затратами трудовых ресурсов, то для
регистрации сведений в период проведения обследований привлекаются лица из
числа неработающих (в том числе безработные) и некоторых категорий учащихся
(студенты высших учебных заведений, учащиеся старших курсов техникумов). При
проведении переписи населения таких лиц называют счетчиками. Обычно
организуется обучение временного персонала. Оно проводится для выработки
навыков правильного заполнения статистических формуляров счетчиками.
Размножение
документации самого обследования, документации для проведения инструктажей и
рассылка их республиканским, краевым, областным комитетам и управлениям
статистики также относятся к организационным вопросам наблюдения.
В
период подготовки большая роль отводится массово-разъяснительной работе:
проведению лекций, бесед, организации выступлений в печати, по радио и
телевидению о значении, целях и задачах предстоящего обследования.
Для
согласования деятельности всех служб, занятых подготовкой и проведением
наблюдения, целесообразно составить календарный план, представляющий собой
перечень (наименование) работ и сроки их исполнения отдельно для каждой
организации, занятой в проведении обследования.
Формы статистического наблюдения.
На
этапе подготовки обследования нужно выяснить, как часто оно будет проводиться,
будут ли обследоваться все единицы совокупности или только часть их, как
получать информацию об объекте (путем интервью по телефону, по почте, простым
наблюдением и т. п.). Другими словами, — необходимо определить формы, способы и
виды статистического наблюдения.
Формы
статистического наблюдения. В отечественной статистике иьпользуются три
организационные формы (типы) статистического наблюдения:
отчетность(предприятий,
организаций, учреждений и т. п.);
специально
организованное статистическое наблюдение (переписи,единовременные учеты,
обследования сплошного и несплошного характера);

регистры.
Статистическая
отчетность. Отчетность – это основная форма статистического наблюдения, с
помощью которой статистические органы в определенные сроки получают от
предприятий, учреждений

Источники:

Жозеф Луи Лагранж

0

Жозеф Луи Лагранж
Лагранж, Жозеф
Луи (Lagrange, Joseph Louis) (1736–1813), французский математик и
механик.
Родился 25
января 1736 в Турине.
Учился в
Туринском университете.
Стал
профессором геометрии в Артиллерийской школе Турина.
В 1755 Лагранж
послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии
основой вариационного исчисления. В 1756 по представлению Эйлера стал
иностранным членом Берлинской Академии наук.
Принимал
участие в организации в Турине научного общества (впоследствии Туринской
Академии наук).
В 1764
Парижская Академия наук объявила конкурс на лучшую работу по проблеме движения
Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации Луны, которая была удостоена
первой премии.
В 1766 получил
вторую премию Парижской Академии за исследование, посвященное теории движения
спутников Юпитера, а до 1778 был удостоен еще трех премий.
В 1766 по
приглашению Фридриха II Лагранж переехал в Берлин, где стал президентом Берлинской
Академии наук. Берлинский период (1766–1787) был самым плодотворным в жизни
Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, а также по
решению дифференциальных уравнений в частных производных.
В Берлине был
подготовлен труд Аналитическая механика (Mecanique analytique), опубликованный
в Париже в 1788 и ставший вершиной научной деятельности Лагранжа. В основу всей
статики положен т.н. принцип возможных перемещений, в основу динамики –
сочетание этого принципа с принципом Д’Аламбера. Введены обобщенные координаты,
разработан принцип наименьшего действия.
В 1787, после
кончины Фридриха II, Лагранж переехал в Париж и стал членом Парижской Академии
наук. Во время Французской революции принял участие в работе комиссии,
занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и нового календаря. В
1797, после создания Политехнической школы, вел преподавательскую деятельность,
читал курс математического анализа. В 1795, после открытия Института Франции,
стал главой его физико-математического класса.
Лагранж внес
существенный вклад во многие области математики, включая вариационное
исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение
максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию
вероятностей. В двух своих важных трудах – Теория аналитических функций (Theorie des fonctions analytiques, 1797) и О
решении численных уравнений (De la requations numeriques, 1798) – подытожил все, что было известно по этим вопросам
в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы были развиты в работах
математиков 19 в.
Умер Лагранж в
Париже 10 апреля 1813.

Источники:

Жизнь Пифагора

0

Когда Мнесарх,
отец Пифагора,
был в Дельфах
по своим торговым
делам, он и его
жена Партенис
решили спросить
у Дельфийского
оракула, будет
ли Судьба
благоприятствовать
им во время
обратного
путешествия
в Сирию. Пифия
(прорицательница
Аполлона), сидя
на золотом
триподе над
зияющим отверстием
оракула, не
ответила на
их вопрос, но
сказала Мнесарху,
что его жена
носит в себе
дитя и что у
них родится
сын, который
превзойдет
всех людей в
красоте и мудрости
и который много
потрудится
в жизни на благо
человечества.
Мнесарх столь
впечатлен был
пророчеством,
что изменил
имя собственной
жены на Пифазис
в честь Пифийской
жрийы. Когда
родилось дитя
в городе Сидоне,
Финикия, оно
оказалось, как
и говорил оракул,
мальчиком.
Мнесарх и Пифазис
назвали его
Пифагором,
потому что они
верили в то,
что ему предсказано
оракулом.
Много странных
легенд дошло
до наших дней
о рождении
Пифагора. Некоторые
из них утверждают,что
он не был обычным
человеком , а
был одним из
богов, принявших
человеческий
облик для того,
чтобы войти
в мир и учить
человеческую
расу. Пифагор
был одним из
многих мудрецов
и спасителей
древности, за
кем утвердилась
репутация
безупречного
во всем. В своем
«Апокалипсисе»
Годфри Хиггинс
пишет: «Первым
странным
обстоятельством
в истории Пифагора
при сравнении
ее с жизнью
Иисуса было
то, что они были
уроженцами
одной и той же
местности.
Пифагор родился
в Сидоне, а Иисус
в Вифлееме, оба
города в Сирии.
Отец Пифагора,
как и отец Иисуса,
был пророчески
извещен о том,
что у не7го родится
сын, который
явится благодетелем
человечества.
Оба родились
в то время, когда
их родители
были вне дома.
Иосиф и его
жена были на
пути в Вифлеем
для уплаты
налогов, а отец
и мать Пифагора
путешествовали
из Самоса, своей
резиденции,
в Сидон по делам.
Пифазис, мать
Пифагора, имела
соитие с духом
бога Аполлона
или Бога Солнца
(конечно, это
был, наверняка,
святой дух, а
в случае с Иисусом
был Святой
Дух), который
впоследствии
явился к ее
мужу и сказал
ему, что тот не
должен возлегать
с женой все
время ее беременности
— история та же
самая, по сути,
что случилось
с Иосифом и
Марией. Из-за
этих обстоятельств
Пифагор был
известен под
тем же именем,
что и Иисус, а
именно как сын
Бога, и люди
верили, что Он
был Божественно
вдохновлен».
Этот самый
знаменитый
философ родился
где-то между
600 и 590 гг.до Р.Х. и
жил около ста
лет.
Учение Пифагора
говорит о том,
что он был
превосходно
знаком с содержанием
восточных и
западных
эзотерических
школ. Он жил
среди евреев
и много узнал
от раввинов
о тайных традициях
Моисея, законодателя
Израиля. Впоследствии
школа Ессеев
была посвящена
по большей
части интерпретации
пифагорейских
символов. Пифагор
был инициирован
в египетские
, вавилонские,
халдейские
Мистерии. Хотя
многие полагали
его учеником
Зороастра,
сомнительно,
чтобы его учителем
был богочеловек,
которого почитали
персы. Хотя
данные о его
путешествиях
расходятся
меж собой, историки
согласны в том,
что он посетил
много стран
и учился у многих
учителей.
«После
ознакомления
со всем, что он
мог получить
от греческих
философов,
будучи, по всей
вероятности,
посвящен в
Элевсинские
Мистерии, он
поехал в Египет,
где наконец
преуспел в
инициации в
Мистерии Исиды,
совершенной
жрицами Фив.
Затем этот
неустрашимый
«присоединившийся»
направил свои
стопы в Финикию
и Сирию, где
был посвящен
в Мистерии
Адониса, и, сумев
пересечь долину
Ефрата, он находился
достаточно
долго у халдеев,
чтобы перенять
их секретную
мудрость. Наконец,
он предпринял
свое величайшее
и наиболее
важное историческое
путешествие
через Мидию
и Персию в Индустан
, где он был
несколько лет
учеником, а
потом стал
инициированным
в брамины Элефанта
и Эллора» (см.
«Древнее масонство»
Фрэнка Хиггинса,
32 ). Тот же самый
автор добавляет,
что имя Пифагора
все еще хранится
в летописях
браминов, где
он фигурирует
как Яванчария,
то есть Ионийский
Учитель.
Говорят,
что Пифагор
был первым
человеком,
который назвал
себя философом
; в самом деле
мир обязан как
раз ему этим
термином. До
него умные люди
звали себя
мудрецами, что
означало человек,
который знает.
Пифагор был
гораздо скромнее.
Он ввел в обращение
термин философ,
который определил
как тот, кто
пытается найти,
выяснить.
После возвращения
из своих странствий
Пифагор основал
школу или, как
ее часто называют,
университет
в Кротоне, дорийской
колонии в Южной
Италии. Сначала
в Кротоне на
него смотрели
искоса, но через
некоторое время
власть имущие
в этом городе
уже искали его
совета в делах
огромной важности.
Он собрал вокруг
себя небольшую
группу преданных
учеников, которых
посвятил в
глубокую мудрость,
ему открытую,
а также в основы
оккультной
математики,
музыки, астрономии,
которые рассматривались
им как треугольное
основание для
всех искусств
и наук.
Когда ему
было около 60
лет, Пифагор
женился на
одной из своих
учениц, и у них
родилось семь
детей. Его жена
была замечательно
способной
женщиной, которая
не только вдохновляла
его всю оставшуюся
жизнь, но и после
его убийства
продолжала
распространять
его учение .
Как это часто
случается с
гениями, своей
искренностью
Пифагор вызвал
и политическую
, и личную враждебность
со стороны
граждан Кротона.
Среди желавших
принять посвящение
был один, которому
Пифагор отказал
в этом, и тогда
тот решил уничтожить
как человека,
так и его учение.
Через ложные
слухи этот
человек возбудил
в простых людях
недовольство
философом. Без
всякого предупреждения
банда убийц
ворвалась в
небольшую
группу строений,
где обитали
великий учитель
и его ученики,
подожгли здания
и убили Пифагора.
Относительно
того, как умер
Пифагор, общего
мнения нет.
Некоторые
говорят, что
он был убит
собственными
учениками;
другие говорят,
что он бежал
из Кротона с
небольшой
группой последователей
и, попав в засаду,
сгорел в подожженном
доме. Еще одна
версия говорит
о том, что в горящем
доме ученики
образовали
мост из тел,
живыми войдя
в огонь, для
того, чтобы их
учитель прошел
по нему и спасся,
и только впоследствии
Пифагор умер
от разрыва
сердца, скорбя
по поводу кажущейся
тщетности своих
усилий по просвещению
и служению
человечеству.
Выжившие
его ученика
пытались продолжать
его учение, но
они всякий раз
подвергались
гонениям, и к
сегодняшнему
дню мало что
осталось от
свидетельств
величия этого
философа. Говорят,
что его ученики
никогда не
произносили
его имени, а
использовали
слова Мастер
или Этот Человек.
Это происходило,
возможно, потому,
что по преданию
имя Пифагора
состояло из
специальным
образом упорядоченных
букв и имело
огромное священное
значение. Журнал
«Word» опубликовал
статью Т. Пратера,
в которой
показывается,
что Пифагор
посвящал своих
учеников-кандидатов
посредством
определенной
формулы, скрытой
в буквах его
имени. Это может
быть объяснением
того, почему
имя Пифагор
столь высоко
почиталось.
После смерти
Пифагора его
школа постепенно
распалась, но
те, кто был
облагодетельствован
его учением,
хранили память
о великом философе
так же, как они
во время жизни
почитали человека.
Прошло время
, и Пифагор стал
считаться уже
не человеком,
а богом, и его
рассеянные
по свету ученики
были объединены
общим восхищением
все превосходящим
гением своего
учителя. Эдуард
Шуре в своей
книге « Пифагор
и Дельфийские
Мистерии»
приводит эпизод,
показывающий
узы братства
членов пифагорейской
школы:
« Один из
них впал в нищету,
заболел и был
подобран хозяином
постоялого
двора. Перед
смертью он
нарисовал
таинственные
знаки ( несомненно,
пентаграмму)
на двери постоялого
двора и сказал
хозяину: « Не
беспокойся,
за меня заплатит
мои долги один
из моих братьев».
Через год один
человек, проходя
мимо постоялого
двора, увидел
знаки и сказал
хозяину: « Я
пифагореец;
один из моих
братьев умер
здесь и наказал
мне заплатить
за него»».
Фрэнк Хиггинс
, 32` , дает отличную
сводку пифагорейских
доктрин:
« Учение
Пифагора имеет
огромную важность
для масонов
, потому что
оно было результатом
его контактов
с ведущими
философами
всего цивилизованного
мира того времени
и представляло
то, в чем они
все были согласны,
вырвав с корнем
все сорняки
разногласий.
Таким образом,
аргументы
Пифагора в
защиту чистого
монотеизма
являются достаточным
свидетельством
того , что единство
Бога было высшим
секретом
всех древних
инициаций.
Гипотеза о том,
что эта традиция
была доминирующей
, может считаться
оправданной.
Философская
школа Пифагора
была в известной
мере также
серией инициаций,
поскольку он
заставлял
учеников проходить
через различные
ступени и никогда
не вступал с
ними в личный
контакт, пока
они не достигали
определенной
ступени совершенства.
Согласно его
биографам,
степеней было
три. Во-первых,
это касалось
«Математики»
— его ученикам
вменялось в
обязанность
знание математики
и геометрии,
которое было
тогда и могло
бы быть сейчас,
если бы масонство
было должным
образом внедрено,
основанием
, на котором
воздвигалось
все знание.
Во-вторых, это
касалось «Теории»
, которая имело
дело с искусными
приложениями
точных наук.
Наконец, речь
шла о степени
«Избранности»,
которая присваивалась
кандидату
тогда, когда
он постигал
свет полного
просвещения,
какого только
можно было
достичь. Ученики
пифагорейской
школы разделялись
на «экзотериков»
, или учеников
внешних степеней,
и «эзотериков»,тех,
кто проходил
третью степень
инициации и
был допускаем
к секретной
мудрости. Молчание,
секретность
и безусловное
повиновение
были кардинальными
принципами
этого великого
ордена.»
ОСНОВЫ ПИФАГОРИЗМА
Изучение
геометрии,
музыки и астрономии
считалось
существенным
для понимания
Бога, человека
или Природы,
и никто не мог
полагать себя
учеником Пифагора
до тех пор, пока
не овладевал
в достаточной
степени этими
науками. Каждый
претендент
проверялся
по этим трем
предметам, и,
если обнаруживалось
его невежество,
он быстро изгонялся.
Пифагор
не впадал в
крайности. Он
учил скорее
умеренности
во всех вещах,
нежели излишеству
в чем-либо, поскольку
полагал, что
избыток добродетели
— уже порок. Одним
из его любимых
выражений было:
« Мы должны
всеми силами
стремиться
к истреблению
во всех вещах
излишеств и
огнем и мечом
изгонять из
тела болезни,
из души — невежество,
из живота —
обжорство, из
городов — призывы
к бунту, из семьи
— раздоры». Пифагор
верил, что нет
большего преступления
нежели анархия
.
Все люди
знают, чего они
хотят, но мало
кто знает, что
ему нужно. Пифагор
предупреждал
своих учеников,
что они не должны
молиться за
себя; что, когда
они просят у
богов что-нибудь
, они не должны
просить для
себя, потому
что человек
не знает, что
для него хорошо,
и поэтому неразумно
просит то, что
по получении
может принести
вред.
Богом Пифагора
была Монада,
или Единое,
которое есть
Все. Он описывал
Бога как Верховный
Ум, рассредоточенный
по всем частям
Вселенной, как
Причину всех
вещей. Он далее
говорил, что
движение Бога
является круговым,
тело Бога состоит
из световой
субстанции,
а природа Бога
должна состоять
из субстанции
истины..
Пифагор
говорил, что
поедание мяса
затемняет
умственные
способности.
Хотя он не запрещал
его есть другим
и сам не полностью
воздерживался
от мяса , он говорил,
что судья должен
воздержаться
от поедания
мяса перед
судом для того,
чтобы представшим
перед ним вынести
наиболее честное
и проницательное
решение. Когда
Пифагор решал
(а это делалось
часто) удалиться
в храм Бога на
продолжительное
время для медитации
и молитвы, он
брал с собой
заготовленный
запас пищи и
питья. Пища
состояла из
равных частей
мака и кунжута,
шкурок морского
лука, из которого
выдавливался
сок, цветков
нарцисса, листьев
мальвы, ячменя
и гороха. Сюда
же добавлялся
дикий мед. Для
приготовления
питья он использовал
семена огурцов,
изюм без косточек,
цветы кориандра,
семена мальвы
и портулака,
тертый сыр,
молоко и масло,
смешанные
вместе и услащенные
диким медом.
Пифагор говорил,
что это диета
Геркулеса,
когда тот скитался
по ливийской
пустыне, и рецепт
был дан ему
самой богиней
Церерой.
Любимым
методом лечения
у пифагорейцев
были припарки
. Эти люди знали
также волшебные
свойства огромного
числа растений.
Пифагор высоко
ценил лечебные
свойства морского
лука, и, говорят,
он написал по
этому поводу
целую книгу.
Эта работа,
однако, нам не
известна. Пифагор
открыл, что
музыка может
иметь терапевтическое
значение, и
составлял
различные
специальные
гармонии для
различных
болезней. Он
экспериментировал
также с цветом
и как будто
достиг больших
успехов. Один
из его уникальных
методов лечения
заключался
в декламировании
стихов из «Илиады»
и «Одиссеи»
Гомера, их нужно
было читать
больному человеку
. Пифагор противился
хирургии во
всех ее формах.
Он не допускал
изменения
человеческого
тела, поскольку
это было, с его
точки зрения,
святотатством
в отношении
богов, поскольку
при этом нарушалось
место их обитания.
Пифагор учил,
что дружба
является самым
истинным и
почти совершенным
из всех человеческих
отношений. Он
говорил, что
в Природе все
дружит со всем;
боги с людьми,
душа с телом,
рационализм
с иррационализмом,
философия с
теорией, человек
с другими людьми.
Он говорил
также, что дружба
существует
между людьми
незнакомыми,
между мужчиной
и его женой,
его детьми и
слугами. Все
узы без дружбы
являются просто
оковами, и нет
никакой добродетели
в их поддержании.
Пифагор верил,
что человеческие
отношения
являются по
своей природе
больше умственными,
нежели физическими,
и что незнакомец,
ему симпатичный
с интеллектуальной
точки зрения,
ближе к нему,
нежели кровный
родственник,
не разделяющий
его точку зрения.
Пифагор определял
знание как
плоды умственного
накопления.
Он считал, что
оно может быть
добыто множеством
путей, но главным
считал наблюдение.
Мудрость есть
понимание
источника или
причины всех
вещей и может
быть достигнута
только поднятием
интеллекта
до той точки,
где он интуитивно
осознает невидимые
проявления,
направленные
через видимое,
становясь таким
образом, способным
к общению скорее
с духами вещей,
нежели с их
формами. Окончательным
источником,
который должен
быть постигнут
мудростью, была
Монада, таинственный
вечный атом
пифагорейцев.
Пифагор
учил, что человек
и Вселенная
сделаны по
образу Бога.
И поскольку
образ этот
один, то знание
об одном является
знанием и о
другом. Он, далее,
учил, что есть
постоянное
взаимодействие
между Большим
Человеком
(Вселенной) и
человеком
(малой вселенной).
Пифагор
верил, что все
сидерические
тела являются
живыми и что
формы планет
и звезд являются
просто телами
душ, умов и духов
точно также,
как видимая
человеческая
форма является
носителем
невидимого
духовного
организма,
который и есть
в реальности
сознающий
индивид. Пифагор
считал планеты
волшебными
божествами,
достойными
поклонения
и уважения
человека. Все
эти божества,
однако, с его
точки зрения,
подчинены
Первой Причине,
внутри которой
они существуют
временно так,
как смертность
существует
посреди бессмертия.
Знаменитая
пифагорейская
Y означала силу
выбора и использовалась
в Мистериях,
как эмблема
Развилки Пути.
Главная дорога
разделялась
на две — направо
и налево. Правая
ветвь была
названа Божественной
Мудростью, а
левая — Земной
Мудростью.
Юность, персонифицированная
в кандидате,
идет по Дороге
Жизни, символизируемой
центральным
стволом знака
Y , и достигает
точки, где Путь
разделяется.
Неофит должен
выбрать, пойдет
ли он левой
дорогой и, следуя
диктату своей
низшей природы,
встанет на
путь заблуждения
и бездумья ,
который неизбежно
приведет его
к исчезновению
, или же он выберет
правый путь
и через целостность
, труд и искренность
окончательно
достигнет союза
с бессмертными
в высших сферах.
Вероятно,
что Пифагор
заимствовал
свою концепцию
Y у египтян, которые
включали в
некоторые свои
ритуалы инициации
сцену, где кандидат
представал
перед двумя
женскими фигурами.
Одна из них,
закутанная
в белые одежды
храма, призывала
неофита в зал
учения, а другая,
украшенная
драгоценными
камнями, символизирующими
земные сокровища,
держала в руках
поднос, наполненный
фруктами ( эмблема
ложного света),
и заманивала
его в залы
распущенности.
Этот символ
все еще используется
в картах Тарот,
одна из которых
называется
Развилка Пути.
Палка, кончающаяся
развилкой,
является символом
жизни многих
народов, и она
используется
для указания
места в пустыне,
где есть вода.
Относительно
пифагорейской
теории переселения
душ имеются
различные точки
зрения. Согласно
одному взгляду,
он учил, что
смертные,
уподоблявшиеся
в течение жизни
какому-либо
животному, по
возвращении
на землю примут
форму этого
животного.
Поэтому пугливый
человек вернется
в роли кролика,
жестокий человек
— в форме волка,
а хитрый — в виде
лисы. Этот взгляд
не подпадает,
однако, под
общую схему
пифагорейской
философии и
скорее носит
характер аллегории,
нежели имеет
буквальный
смысл. Эта аллегория
должна пониматься
так: человеческие
существа становятся
зверями, когда
они позволяют
в себе доминировать
своим собственным
низким желаниям
и разрушительным
тенденциям.
Вполне вероятно,
что термин
«трансмиграция»
должен пониматься
в смысле перевоплощения,
доктрины, которую
Пифагор мог
прямо или косвенно
узнать в Индии
и Египте.
Тот факт,
что Пифагор
принял теорию
последовательных
воплощений
духовной природы
в человеческой
форме, обнаруживается
в сноске в работе
Леви «История
магии»: « Он
был видным
сторонником
того, что называется
доктриной
метемпсихоза,
понимаемой
как переселение
души в последующие
тела. Он сам
был: а) Эталидесом,
сыном Меркурия;
б) Э вфорбусом,
сыном Панфоя,
павшим от руки
Менелая в троянской
войне; в) Гермотимеем,
пророком в
Клазоменах,
городе в Ионии;
г) смиренным
рыбаком и, наконец,
д) философом
с Самоса».
Пифагор также
учил, что каждый
вид существ
имеет то, что
он называет
печатью, данной
существу Богом,
и что физическая
форма каждого
из них является
оттиском этой
печати на воску
физической
субстанции.
Таким образом,
каждое тело
отмечено достоинством
, идущим от
божественного
образа. Пифагор
верил, что в
конце концов
человек достигнет
состояния, в
котором он
сумеет отобразить
свою большую
природу в эфирном
теле, налагаемом
на физическое
тело, и после
этого будет
обитать в восьмой
сфере, или Антихтоне.
Отсюда он может
вознестись
в область
бессмертных,
которой он
принадлежит
по божественному
праву рождения.
Пифагор
учил, что все
в природе разделено
на три части
и что никто не
может стать
воистину мудрым,
пока он не будет
представлять
каждую проблему
в виде треугольной
диаграммы. Он
говорил: « Узрите
треугольник,
и проблема на
две трети решена…
Все вещи состоят
из трех». В
соответствии
с этой точкой
зрения, Пифагор
разделил Вселенную
на три части,
которые он
назвал Высочайший
Мир, Высший Мир
и Низший Мир.
Главный из них,
Высочайший
Мир, является
тонкой проницаемой
духовной сущностью,
пронизывающей
все вещи, и ,
следовательно,
истинной плоскостью
самого Высочайшего
Божества, и при
этом Божество
является вездесущим,
всемогущим
и всеведущим.
Оба подчиненных
мира существуют
в природе этой
высочайшей
сферы.
Высший Мир
является обиталищем
бессмертных
. Это также и
место архетипов,
или печатей;
их природа ни
в коей мере не
сходна с земной
материальностью,
но они, отбрасывая
свою тень в
глубину (Низший
Мир), осознаются
только через
свои тени. Третий,
Низший Мир ,
является обиталищем
тех созданий,
которые состоят
из материальной
субстанции
или же заняты
трудами над
материальной
субстанцией.
Таким образом,
это обиталище
смертных богов,
Демиургов,
ангелов, которые
имеют дело с
людьми, и демонов,
имеющих земную
природу. Сюда
же относятся
человечество
и низшие царства,
временные
жильцы на земле,
но способные
подняться в
высшие сферы
через разум
и философию.
1 и 2 не считались
числами у
пифагорейцев,
потому что они
представляют
две надмирские
сферы. Пифагорейские
числа начинаются
с 3, треугольника,
и 4, квадрата.
Сложенные между
собой и плюс
1 и 2, они дают число
10, великое число
всех вещей,
архетип Вселенной.
Три мира были
названы вместилищами.
Первый был
вместилищем
принципов,
второй — разума,
а третий — низший
— вместилищем
количеств.
Числа
и формы.
Пифагор
учил, что точка
символизирует
число 1, линия
— число 2, плоскость
— число 3, и многогранники
— число 4.
1
Источники:

Жизнь и деятельность В.Я. Буняковского

0

РЕФЕРАТ
ПО ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ
НА ТЕМУ:
ЖИЗНЬ
И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
В.Я. БУНЯКОВСКОГО
Оглавление
Жизнь
и деятельность
Исследования
по теории чисел
Работы
по геометрии
и прикладным
вопросам
Жизнь
и деятельность
Буняковский
Виктор Яковлевич
— знаменитый
русский математик,
родился 3 декабря
1804 г. в местечке
Баре Подольской
губернии, где
отец его, родом
из Малороссии,
состоял на
службе подполковником
конно-польского
уланского
полка. Первоначальное
образование
Буняковский
получил в Москве,
в доме графа
А.П.
Тормасова,
друга его отца,
умершего уже
в 1809 г., а затем в
1820 г. был отправлен,
вместе с сыном
графа, за границу,
где он пробыл
7 лет; сначала
жил в Кобурге,
где брал частные
уроки, затем
слушал лекции
в Лозанне (в
академии) и
Париже (в университете
и College
de
France).
Его ближайшим
наставником
был Коши. В 1824 году
он был удостоен
младших ученых
степеней во
Франции – бакалавра
и лиценциата,
а в следующем
году, вторым
из русских
после харьковчанина
Затеплинского,
степени доктора
математических
наук. Докторская
диссертация,
защищенная
Буняковским
в мае 1825 году в
Парижском
университете,
как было это
принято во
Франции в это
время, состояла
из двух работ.
Обе они относились
к прикладной
математике:
к аналитической
механике (об
одном случае
вращательного
движения в
сопротивляющейся
среде) и к математической
физике (о распространении
тепла внутри
твердых тел).
В 1826 году
Буняковский
вернулся на
родину и вскоре
начал преподавать
математику
в старших классах
Петербургского
первого кадетского
корпуса, а в
следующем году
– математику
механику в
офицерских
классах Морского
кадетского
корпуса. Летом
1830 года он получил
должность
профессора
математики
в Институте
корпуса инженеров
путей сообщения
и несколько
позже — в Горном
институте. В
этот период
своей педагогической
деятельности
Буняковский
издал на русском
языке ранее
выполненные
им переводы
известных книг
Коши по анализу
и тем самым
способствовал
ознакомлению
русских математиков
с предложенным
Коши построением
математического
анализа на
основе теории
пределов.
В мае 1828
года Буняковский
был избран
адъютантом
Петербургской
академии наук,
а в марте 1830 года
экстраординарным
академиком.
Так началась
деятельность
Буняковского
в Академии
наук. Он сообщал
на заседаниях
академии и
печатал в ее
изданиях свои
научные труды,
давал отзывы
на появлявшиеся
математические
работы, сотрудничал
в издававшемся
в 30-е годы энциклопедическом
словаре Плюшара,
математическую
часть которого
редактировал
Остроградский.
Буняковский
постоянно
заботился об
умножении
математической
литературы
на русском
языке. Особым
проявлением
такой заботы
является его
длительная
трудоемкая
работа над
словарем «Лексикон
чистой и прикладной
математики».
Работая над
словарем, он
преследовал
цель, с одной
стороны, дать
русским читателям
«достаточные
сведения обо
всех важнейших
теориях, как
старых, так и
новейших», с
другой – обогатить
русскую математическую
терминологию,
весьма неполную
тогда во многих
отношениях.
Первый
том словаря,
посвященный
памяти Ньютона,
Эйлера, Лагранжа,
был одобрен
Академией наук
в 1836 году и через
три года вышел
из печати. Чтобы
дать возможность
любителям
точных знаний
в России читать
и понимать
французскую
математическую
литературу,
Буняковский
расположил
статьи тома
по французскому
алфавиту. В
каждой статье
он приводит
соответствующий
русский термин
и весьма полно
раскрывает
его содержание.
Оригинально
написанные
статьи словаря
в ясной форме
давали изложенный
прекрасным
языком большой
материал для
изучения различных
вопросов математики.
Значительное
внимание в
словаре уделено
понятиям теории
чисел и теории
вероятностей,
основным направлениям
научной деятельности
Буняковского.
В работе над
словарем Буняковскому
помогал советами
Остроградский,
несколько раз
упомянутый
в словаре как
«наш знаменитый
геометр». Дружеские
отношения у
Буняковского
с Остроградским
сложились еще
во время их
пребывания
в Париже. Обширные
статьи о математической
теории распространений
теплоты в твердых
телах, криволинейном
движении, динамике
написаны с
учетом соответствующих
работ Остроградского.
Словарь получил
восторженные
оценки как
замечательный
вклад в русскую
математическую
литературу1.
В январе
1841 года Буняковского
избирают ординарным
академиком,
на место Коллинса.
К этому времени
он был уже широко
известен не
только как
автор «Лексикона
чистой и прикладной
математики»,
как превосходный
преподаватель,
но и как видный
ученый, опубликовавший
значительное
число исследований,
особенно по
теории чисел.
Лишь со смертью
Буняковского
(1889г.) был расторгнут
«вечный брак»
его с теорий
чисел. Буняковский
занимался также
различными
вопросами
математического
анализа и, особенно,
теории вероятностей.
В формировании
русской школы
теории вероятностей
значительную
роль сыграло
обширное руководство
Буняковского
«Основания
математической
теории вероятностей»
(1846г.). ему принадлежат
также работы
по геометрии
и прикладным
вопросам.
Буняковский
совмещал научную
деятельность
с преподаванием
математики
и механики в
нескольких
учебных заведениях.
Особенно плодотворной
в смысле повышения
уровня математического
образования
в стране была
его четырнадцатилетняя
(с 1846г.) педагогическая
деятельность
в Петербургском
университете.
Кроме
«Оснований
математической
теории вероятностей»
широкую известность
как учебное
руководство
получила «Арифметика»
Буняковского
(1844, 1949, 1852гг.). Первое
ее издание было
одобрено как
руководство
для гимназий,
переработанное
второе издание
– для военно-учебных
заведений.
Книга отличалась
четкостью и
строгостью
изложения,
простым общедоступным
языком и использовалась
в большинстве
учебных округов
России.
После
Остроградского
Буняковский
был самым
авторитетным
членом комиссии
по пересмотру
и окончательной
обработке
программ преподавания
математических
предметов в
военно-учебных
заведениях.
Он составил
«Программу
и конспект
начальной
геометрии»
(1851г.), подготовил
второе издание
своей «Арифметики»,
издал для слушателей
военно-учебных
заведений в
своем переводе
«Курс начертательной
геометрии»
Леруа. В 1862 году
Буняковский
заменил Остроградского
на посту главного
наблюдателя
за преподаванием
математических
наук в военно-учебных
заведениях
и занимал этот
пост до реорганизации
последних
(1864г.). В 1861-1863гг. участвовал
в издании
«Энциклопедического
словаря, составленного
русскими учеными
и литераторами».
В вышедших
шести томах
словаря он
поместил около
50 статей и заметок
математического
и историко-математического
содержания.
Педагогическая
деятельность
Буняковского
оказала значительное
влияние на
преподавание
математики
в высших и средних
учебных заведениях.
В 1864 году
Буняковкий
– вице-президент
Петербургской
академии наук.
В течении всего
двадцатипятилетнего
пребывания
на посту вице-президента
он продолжал
заниматься
и научными
исследованиями.
Оказывал постоянную
поддержку П.Л.
Чебышеву с
первых его
шагов в Петербурге,
был для него
сначала внимательным
наставником,
а затем его
ближайшим
собратом по
науке. В 30-50-е года
Буняковский
был одним из
ведущих математиков
России. Остроградский
и он своей
деятельностью
подготовили
создание Чебышева
в последующие
годы математической
школы.
Исследования
по теории чисел
В исследованиях
Буняковского
в области теории
чисел видны
непосредственная
преемственность
с трудами Эйлера,
прекрасное
знание работ
Лежандра и
Гаусса.
Первой
его работой
в этой области
является статья
«Исследование
о числах»2
(она была также
первой работой,
представленной
им Петербургской
академии наук).
Остроумно
и с большим
мастерством
Буняковский
выполняет
различные
преобразования
в следующих
трех своих
работах по
теории чисел,
относящихся
к началу 30-годов3.
Они посвящены
сравнениям
второй и третьей
степеней.
Одной
из первых на
русском языке
оригинальных
работ по истории
математики,
содержащей
интересные
сведения, является
«Краткий исторический
обзор успехов
теории чисел»
(1835г.) Буняковского.
В двух работах,
относящихся
к концу 30-х годов,
Буняковский
исследует
простые числа.
Буняковский
стремится
расширить
область применения
теории чисел.
В этом направлении
он выполнил
две работы: в
одной из них
теория чисел
применена к
вопросам элементарной
геометрии, в
другой – к вопросам
алгебры4.
Буняковский
доказал, что
из всех описанных
около круга
правильных
многоугольников
один только
квадрат имеет
периметр, соизмеримый
с радиусом; из
всех вписанных
в круг правильных
многоугольников
один только
шестиугольник
имеет периметр,
соизмеримый
с радиусом, и
один только
треугольник
имеет апофему,
соизмеримую
с радиусом;
линия, проведенная
из центра круга
к вершине угла
описанного
правильного
многоугольника,
соизмерима
с радиусом
только для
треугольника.
К началу
40-годов относятся
статья Буняковского
о решении одной
задачи диофантова
анализа и заметка
о применении
факториального
бинома к решению
неопределенных
уравнений
первой степени5.
Все
рассмотренные
теоретико-числовые
работы Буняковского
относятся к
алгебраической
теории чисел,
которую и в
дальнейшем
он продолжал
пополнять
важными результатами.
В конце 40-х годов
Буняковский
занялся исследованием
также аналитических
методов в теории
чисел, изучением
сумм делителей
чисел. Результаты
этого исследования
он затем применил
к квадратичным
формам6.
В работе о различных
новых формулах,
относящихся
к сумме делителей
чисел (1850г.), Буняковский,
широко использует
разложение
функций в степенные
ряды.
Применяя
к изучению
квадратичных
форм формулы
для сумм делителей
чисел, как формулу
Эйлера, так и
свои формулы,
и используя
свою теорему
о сумме делителей
квадратов и
удвоенных
квадратов,
Буняковский
разработал
новый метод
представления
целых чисел
с помощью
квадратичных
форм. Особое
место занимают
утверждения
Буняковского,
касающиеся
простых чисел.
Основной
аналитический
метод в теории
чисел – разложение
функций в ряды
– ведет свое
начало от Эйлера
(1748г.). Эйлер применил
Диофантов
анализ для
освобождения
от иррациональностей
при неопределенном
интегрировании.
Буняковский
показал, что
и, наоборот, с
помощью неопределенного
интегрирования
можно получить
результаты,
полезные при
рассмотрении
задач диофантова
анализа7.
Учение
о многочленах
Буняковский
пополнил интересными
результатами
теоретико-числового
характера. В
этом отношении
обращает на
себя внимание
его работа о
числовых делителях
целых рациональных
функций8.
Основным ее
результатом
является метод
для нахождения
наибольшего
делителя N
всех значений
многочлена
f(x)
с целочисленными
коэффициентами,
принимаемых
им при целочисленных
значениях х.
Летом
1856 года Буняковский
представил
Академии наук
свою работу
«Опыт математической
методологии,
приложено к
теории чисел».
Работа осталась
незаконченной
и не была опубликована.
Основное ее
содержание
составляет
систематическая
и полная для
того времени
классификация
методов и приемов
исследования,
применяемых
в теории чисел,
а также свод
важнейших
теорем, различных
формул и таблиц
по теории чисел.
Теоретико-числовые
работы Буняковского9,
относящиеся
к концу 50-х годов,
содержат решение
некоторых
частных вопросов
алгебраической
теории чисел.
В 1865 году
Буняковский
опубликовал
в «Записках
Академии наук»
работу, посвященную
решению предложенных
Бонкомпаньи
(1864г.) задач о нахождении
целочисленных
арифметических
прогрессий
сумма кубов
n
последовательных
членов которых
равна кубу
некоторого
числа, кубу
следующего
члена прогрессии.
В конце
60-х годов появились
работы Буняковского
по теории вычетов.
Одним из наиболее
интересных
результатов,
полученных
им в этой области,
является
доказательство
закона взаимности
простых чисел.
Буняковский
с большим вниманием
отнесся к трудам
русского
математика-самоучки
И.М. Первушина
(1827-1900), воспитанника
Пермской духовной
семинарии и
Казанской
духовной академии.
Первушин, проявив
исключительное
трудолюбие
и поразительную
настойчивость,
выполнил чрезвычайно
кропотливые
и весьма сложные
исследования,
характеризующие
его как замечательного
вычислителя,
талантливого
математика.
Полученные
результаты
он на протяжении
многих лет,
начиная с 1977 года,
посылал в
Петербургскую
академию наук,
где их большей
частью рассматривал
Буняковский.
Определенный
интерес представляет
статья Буняковского
«Об одном
видоизменении
способа, известного
под названием
Эратосфенова
решета» (1882г.). В
отличие от
Эратосфена
Буняковский
выделяет из
последовательности
испытуемых
чисел простые
числа, рассматривая
отдельно числа,
оканчивающиеся
на 1, на 3, на 7, на
9, и используя
при этом решения
вспомогательных
неопределенных
уравнений
первой степени
(довольно простого
вида). Такой
прием оказывается
полезным. Другие
теоретико-числовые
работы Буняковского,
опубликованные
в 80-е годы, связаны
с рассмотрением
различных
свойств числовой
функции Е (х),
как использованных
ранее Буняковским
при решении
ряда вопросов
теории делимости,
так и некоторых
новых.
Последней
опубликованной
работой Буняковского
является «Заметка
об одной формуле,
относящейся
к теории чисел»10.
В теоретико-числовых
работах Буняковский
затрагивал
различные
вопросы. В них
он решал некоторые
новые задачи,
предлагал новые
приемы решения
задач, рассмотренных
другими учеными.
Буняковский
пополнил теорию
чисел многими
результатами,
однако эти
результаты
большей частью
носили частный
характер и
потому не оказывали
ощутимого
влияния на
научные интересы
петербургских
математиков.
Они оствалисьв
стороне от
основного
направления
теоретико-числовых
исследований
Петербургской
математической
школы, сложившегося
в трудах Чебышева
и его учеников.
Работы
по геометрии
и прикладным
вопросам
В начале
40-х годов Буняковский
занялся исследованием
теории параллельных
линий. Этому
вопросу посвящены
все его собственно
геометрические
работы. Их появление
свидетельствует
о том, что Буняковский
разделял
отрицательное
отношение к
работам Лобачевского,
сложившееся
в Петербургской
академии наук
после отзыва
Остроградского
и высказываний
П.Н. Фусса и Э.Д.
Коллинса. Фусс
и Коллинс считали
исследования
Лобачевского
«бесполезными
умозрениями»,
примером которых
называли «умозрения
о плоских
треугольниках,
в которых сумма
углов будто
бы не равна
двум прямым.
Сначала
в работах по
теории параллельных
линий Буняковский
совсем не называет
имени Лобачевского,
хотя в его намерения
и входило
«познакомить
любителей
геометрии с
постепенным
развитием и
современным
состоянием
основного
вопроса о теории
параллельных
линий, столь
важного для
науки». Решение
этого вопроса
было уже дано
Лобачевским.
Однако открытие
Лобачевского
осталось не
понятым Буняковским.
Неоднократные
его попытки
доказать аксиому
параллельных
по существу
были выступлением
против идей
Лобачевского.
Возвратившись
к вопросу о
параллельных
линиях в 1872 году,
когда уже начали
появляться
отдельные
выступления
с признанием
заслуг Лобачевского,
Буняковский
снова выразил
отрицательное
отношение к
его открытию.
В своих работах
он изложил
критику различных
попыток доказательства
постулата
Евклида, а также
собственный
взгляды по
этому вопросу.
Исследования
Буняковского
по теории
параллельных
линий с принципиальной
точки зрения
несостоятельны.
Они сохраняют
лишь некоторый
исторический
интерес. Наиболее
ценным является
работа «Параллельные
линии» (1853г.).
Наряду
с теоретическими
Буняковский
постоянно
занимался
прикладными
вопросами. В
статье по механике,
в частности,
он показал, что
число положений
равновесия
однородной
треугольной
призмы, погруженной
в жидкость, не
может быть
больше 15, и высказал
предположение,
что таких положение
не больше 12.
последнее в
1855 году доказал
А.Ю. Давидов. В
1842 году Буняковский
решил предложенную
ему Б.С. Якоби
задачу об определении
числа особого
вида сочетаний.
К этой задаче
Якоби пришел
в работах по
электромагнитному
телеграфу.
Позднее внимание
Буняковского
привлек вопрос
о наивыгоднейшем
размещении
громоотводов
(1863г.).
Постоянно
интересовался
Буняковский
средствами
вычислений
и математическими
приборами. В
исследованиях
по этим вопросам
он проявил себя
и как видный
изобретатель.
К годам учения
(1824г.) относится
подвижная
таблица, придуманная
им для решения
без всякого
вычисления
основных вопросов
церковного
календаря
(описание опубликовал
в 1857г.). К 50-м годам
относятся его
работы о планиметрах.
Известные к
тому времени
планиметры,
включая планиметр-самокат
П.А. Зарубина
(1854г.), были весьма
сложными,
малонадежными
и дорогостоящими.
Этих недостатков,
в значительной
мере, нет в
планиметре-пантографе
Буняковского
(1855г.). В 1860 году Буняковский
установил также
теоретическую
возможность
построения
свободных
планиметров,
т.е. планиметров,
целиком свободно
перемещающихся
вдоль контура
фигуры.
К середине
прошлого века
метод наименьших
квадратов
получил широкое
распространение.
В трудах астрономов
России В. Струве,
О. Струве, Х.
Петерса, а также
других ученых
значительное
место занимала
математическая
обработка
результатов
наблюдений.
Исследования
М.Г. Паукера
способствовали
все более широкому
использованию
этого метода
при обработке
опытных данных
в физике. Непосредственное
практическое
применение
метода наименьших
квадратов часто
сопряжено со
значительной
вычислительной
работой. Для
облегчения
ее выполнения
и контроля
полученных
по этому методу
результатов
Буняковский
предложил в
1858 году специальный
прибор – суммарный
эккер. Прибор
позволял получать
квадраты
последовательности
чисел с суммированием
этих квадратов,
а также произведения
двух множителей
(как разности
квадратов их
полусуммы и
полуразности)
с суммированием
последовательности
этих произведений.
Принцип действия
прибора основан
на одной лишь
теореме Пифагора.
Изготовленный
экземпляр
прибора позволял
выполнять
действия с
квадратами
чисел, содержащих
менее четырех
цифр.
Самым
простым и доступным
прибором для
выполнения
простых вычислений
являются русские
счеты. Изобретением
русских самосчетов
(1867г.) Буняковский
устранил основной
недостаток
счетов, связанный
с перенесением
вручную десяти
единиц одного
разряда в качестве
единицы следующего
разряда. В самосчетах
Буняковского
это выполнялось
механически.
Вопросами
усовершенствования
самосчетов
и их применения
Буняковский
занимался в
дальнейшем
(1876г.).
Работы
Буняковского
по прикладным
вопросам, особенно
его изобретения
различных
вычислительных
приборов,
представляли
значительный
интерес в свое
время.
Умер
Буняковский
в преклонном
возрасте 30 ноября
1889 г. в Петербурге.
Научное наследство
Буняковского
весьма значительно.
Им написано
около 130 работ,
большая часть
которых посвящена
математическим
проблемам.
Около двух
десятков работ
Виктора Яковлевича
затрагивают
вопросы статистики
и демографии.
Самый капитальный
труд Буняковского
«Основания
математической
теории вероятностей».
Это объемистая
книга в 480 страниц
вышла в свет
более 100 лет тому
назад. В истории
развития теории
вероятностей
в России эта
книга имеет
исключительное
значение. Профессор
А. В. Васильев
в известной
книге «Русская
наука» дает
такую оценку
этой работе
Буняковского:
«Незабвенная
заслуга Буняковского
перед русскою
наукою и русскою
положительною
мыслью — изданное
им в 1846 г. классическое
сочинение:
«Основы математической
теории вероятностей».
Это обстоятельное
и ясно написанное
сочинение, одно
из лучших в
математической
литературе
Европы по теории
вероятностей,
много способствовало
распространению
между русскими
математиками
интереса к этой
науке и тому
значению, которое
преподавание
теории вероятностей
получило в
русских университетах,
сравнительно
с университетами
других стран»11.
Список
используемой
литературы
История
отечественной
математики
в четырех томах,
том 2 1801-1917гг.
Академия
наук СССР
1
Подготовленный
Буняковским
материалы к
следующим двум
томам словаря
сохранились
в рукописи
2
V. Bouniakowsky. Recherches numeriques. – Mem. De l’Acad.
Des Sci., 1831, t. 1, p. 139-152
3
V. Bouniakowsky. Sur les congruences du second degree. – Mem.
. De l’Acad.
Des Sci., 1831,
t. 1, p. 563-581
В.Я.
Буняковский.
Об остаточных
сравнениях
третьей степени.
— Mem. . De
l’Acad.
Des Sci.,1833,
t. 2, р. 373-392, 1838, t.
1(III), р. 13-20. в этой
работе Буняковский
ввел русские
термины «простое
число» и «первообразный
корень», ставшие
впоследствии
общепринятыми.
4
В.Я. Буняковский.
О правильных
многоугольниках,
вписанных и
описанных
около круга.-
Mem. . De l’Acad.
Des Sci.,1841,
t.2, р. 423-435.
5
V. Bouniakowsky. Solutijn d’un probleme de l’analyse de
Diophante. – Mem. De l’Acad. Des Sci., 1844, t. 3,(V)
p. 1-16; Note sur lemploi du binome factoriel pour la resolution
des congruences du premier degree.- Ibidem, p. 287-295.
6
V. Bouniakowsky. Recherches sur differentes lois nouvelles relatives
a la sommee des diviseurs des nombres. Mem. De l’Acad. Des
Sci., 1850, t. 4 (VI), p/ 259-295, Nouvelle methode dans les
recherches relatives au[ formes quadratiques des nombres, — Ibidem,
1853, t. 5 (VII), p. 303-322.
7
V. Bouniakowsky. Note sur l’emploi des procedes elementaries
du calcul integral dans des questins relatives a l’analyse de
Diophante. – Bull. De la cl. Phys.-math., 1853, t. 11, col,
65-74.
8
V. Bouniakowsky. Sur les diviseurs numeriques invariable des
functions rationnelles entieres.- Mem. De l’Acad. Des Sci.,
1857, t. 6 (VIII), p. 304-329.
9
V. Bouniakowsky. Su rune extension du theoreme de Wilson.- Bull. De
la cl. Phys.-math., 1857, t.15, col. 202-205, Sur un probleme de
position relatif a la theorie des nombers.-Ibidem, 1858, t. 16, col.
67-78, Sur la trans formation des modules dans les congruences du
premier degree. — Ibidem, 1859, t. 17, col. 129-135.
10
В.Я. Буняковский.
Заметка об
одной формуле,
относящейся
к теории чисел.
– Записки Академии
наук, 1887, т. 55, Приложение
№ 5,6 с.
11
«Русская
Наука». Отдел
второй. Математика.
Заслуж. проф.
А. В. Васильев
Вып. I (1725-1826-1863). Петроград
1921

Источники:

Жизнь и деятельность семьи Бернулли

0

Федеральное агентство по образованию
РФ
Государственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
Тульский государственный университет
Кафедра математического
моделирования
Контрольно-курсовая
работа
по курсу
«История и методология
механики»
на тему
«Жизнь и деятельность семьи
Бернулли»
Тула 2009
Оглавление
Введение
Якоб Бернулли
Иоганн Бернулли
Даниил Бернулли
Якоб II Бернулли
Математические объекты,
названные в честь членов семьи
Дифференциальное
уравнение Бернулли
Закон Бернулли
Лемниската Бернулли
Неравенство Бернулли
Распределение Бернулли
Числа и многочлены
Бернулли
Список литературы
Введение
Семейство
Бернулли было одним из протестантских семей, которые из Антверпена в 1583 году,
чтобы избежать избиения католиками. Семейство нашло убежище сначала во Франкфурте,
а вскоре перебралось в Швейцарию, где осело в Базеле. Основатель династии
женился на представительнице одного из самых старинных семейств Базеля и стал
крупным купцом. Николай Старший также был крупным купцом. Три поколения
Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков, из которых наиболее известны
Якоб, Иоганн, Даниил и Якоб II. Среди академиков Петербургской Академии наук – пятеро
представителей семьи Бернулли. Ниже приведено генеалогическое древо семейства
Бернулли.

Якоб
Бернулли
Якоб родился
в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию,
но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил
поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где
познакомился с Гуком и Бойлем.
Вернувшись в
Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит
Штупанус, у них родились сын и дочь.
С 1687 года –
профессор физики (позже – математики) в Базельском университете. В 1684
штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом
нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных
мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке
в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и
интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении
Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся
триумвират – Лейбниц и братья Бернулли – 20 лет возглавлял европейских
математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ. В 1699 оба брата Бернулли
избраны иностранными членами Парижской Академии наук.
Первое
триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает
задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные
промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже
установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал
доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав
дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин
«интеграл».
Якоб Бернулли
внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение
вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал
также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю из
перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; к сожалению, по
невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали
выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь
воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать
свою форму после различных преобразований.
Якобу
Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном
исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа
Бернулли».
Он изучил
теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой
ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество
благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных
понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших
чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не
успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под
названием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теории
вероятностей, статистике и их практическому применению, итог комбинаторики и
теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике
распределение Бернулли.
Якоб Бернулли
издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и
физики.
Иоганн
Бернулли
Иоганн стал
магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся
математикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первые
статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления,
начинает собственные глубокие исследования.
В 1691 будучи
во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу
анализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом
де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей:
исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.
В качестве
концептуальной основы действий с бесконечно малыми Иоганн сформулировал в
начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):
1.
Величина,
уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и не
увеличивается.
2.
Всякая
кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.
3.
Фигура,
заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском
любой кривой, рассматривается как параллелограмм.
Позже
Лопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний,
вытекающий из первых.
В этом же
1691 г. появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum: он нашёл
уравнение «цепной линии» (из-за отсутствия в то время показательной функции
построение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробное
исследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.
В 1692 им
получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой.
С 1693
подключился к переписке брата с Лейбницем.
В 1694
женился и в том же году защитил докторскую диссертацию по медицине. В ответ на
письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный
сейчас как «правило Лопиталя».
Печатает в
Acta Eruditorum статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений
первого порядка». Здесь появились выражения «порядок уравнения» и «разделение
переменных» – последним термином Иоганн пользовался еще в своих парижских
лекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися
переменными, Иоганн предлагает для уравнений первого порядка общий прием
построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом
уравнением поле направлений. В 1695 по рекомендации Гюйгенса становится профессором
математики в Гронингене.
В 1696
Лопиталь выпускает в Париже под своим именем первый в истории учебник по
математическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых
линий» (на французском языке), в основу которого была положена первая часть
конспекта Бернулли. Значение этой книги для распространения нового учения
трудно переоценить – не только потому, что она была первой, но и благодаря
ясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли,
учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занимали
львиную долю книги – 95%. Практически весь изложенный Лопиталем материал был
почерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей форме
было признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своих
собственных находок в области решения дифференциальных уравнений. Объяснение
этой необычной ситуации – в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы.
Двумя годами
ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегодную
пенсию в 300 ливров, с обещанием затем ее повысить, при условии, что Иоганн
возьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, и
только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своих
сочинений, оставленных в свое время у Лопиталя. Этот необычный контракт
пунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн
Бернулли – сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и в
печати – стал защищать свои авторские права.
Книга
Бернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала
четыре издания (последнее – в 1781 году), обросла комментариями, была даже
(1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую
(дифференциалов на флюксии и т.п.). В Англии первый общий учебник по анализу
вышел только в 1706 г. (Диттон).
В 1696 Иоганн
публикует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная
точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей
размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона – дуга
окружности. Это была первая в истории вариационная задача, и математики с ней
блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который
тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её
в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя,
Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от
Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже
опубликовал.
В 1699 вместе
с Якобом избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1702 совместно с
Лейбницем открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. В 1705
вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка.
В 1708 после
смерти брата Якоба (1705) приглашается на его кафедру в Базеле и занимает её до
самой смерти (1748).
Другими
научными заслугами Иоганна Бернулли являются постановка классической задачи о
геодезических линиях и нахождение характерных геометрических свойств этих
линий, а позднее вывод их дифференциальное уравнение. Необходимо также
отметить, что он воспитал множество учеников, среди которых – Эйлер и Даниил
Бернулли.
К его
портрету Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел
истину,
Его сердце
познало справедливость.
Он – гордость
Швейцарии
И всего
человечества.
В честь Якоба
и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.
Даниил
Бернулли
Даниил
родился в Гронингене (Голландия), где его отец тогда преподавал математику в
университете. С юных лет увлёкся математикой, вначале учился у отца и брата
Николая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружился
с Эйлером. В 1721 сдал экзамены на медика в Базеле, защитил диссертацию. Затем
уехал в Италию, где набирался опыта в медицине. В 1724 выпустил «Математические
этюды», принесшие ему известность. В 1725 вместе с братом Николаем уезжает по
приглашению в Петербург, где по императорскому указу учреждена Петербургская
академия наук. Занимается там медициной, но потом переходит на кафедру математики
(1728), ставшую вакантной после смерти его брата Николая. Момент для приезда
был чрезвычайно неудачным – как раз скончался Пётр I, началась неразбериха.
Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и даже
уговорил приехать друга Эйлера (1727). Но тут умерла императрица Екатерина I, и
властям окончательно стало не до Академии. Вскоре Даниил возвращается в Базель.
Он остался почётным членом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47
из 75 трудов Даниила Бернулли.
В 1728
напечатал «Замечания о рекуррентных последовательностях». В 1733 устроился
профессором анатомии и ботаники в Базеле (других вакансий не было). Ведёт оживлённую,
взаимно-полезную переписку с Эйлером. В 1738 как результат многолетних трудов
выходит фундаментальный труд «Гидродинамика». Среди прочего там основополагающий
«закон Бернулли». Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет
(их установил Эйлер в 1750-е годы).
В течение 1747–1753
выходит в свет важная серия работ о колебаниях струны. Бернулли, исходя из
физических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд.
Он провозгласил, что этот ряд не менее общий, чем степенной. Эйлер и Даламбер
выступили с возражениями. Вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался
прав.
В 1748 избран
иностранным членом Парижской Академии наук. В 1750 перешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782
году. Умер за рабочим столом весной 1782 года.
Женат не был.
Отношения с отцом колебались от натянутых до враждебных, споры между ними о
приоритете не утихали.
Более всего
Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории
дифференциальных уравнений – его считают, наряду с Даламбером и Эйлером,
основателем математической физики.
Физик-универсал,
он основательно обогатил кинетическую теорию газов, гидродинамику и
аэродинамику, теорию упругости и т.д. Он первый выступил с утверждением, что
причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической
«Гидродинамике» он вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости
(уравнение Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С точки
зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля-Мариотта.
Бернулли принадлежит
одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда
говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона
сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и
математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического
колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.
В математике
опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов и
дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам
теории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторный
подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с
применением вероятностных методов ряд практически важных задач.
Даниил
являлся Академиком и почетным иностранным членом Петербургской академии наук(1733),
членом Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748),
Лондонского королевского общества (1750). Лауреат многочисленных премий и
призов в конкурсах.
Якоб II
Бернулли
Якоб получил
юридическое образование, но затем переключился на физику и математику. После
неудачной попытки занять кафедру физики в Базеле, освободившуюся после смерти
Даниила Бернулли (1782), Якоб уехал в Италию и поступил на дипломатическую
службу. В 1786 году он переселился в Россию. Женился на внучке Эйлера. Служил в
Академии наук и Кадетском корпусе. Погиб в возрасте 30 лет в результате
несчастного случая при купании в Неве.
Якоб Бернулли
успел опубликовать незаурядные работы по различным вопросам механики, теории
упругости, гидростатики и баллистики: вращательному движению тела, укрепленного
на растяжимой нити, течению воды в трубах, гидравлическим машинам. Вывел
дифференциальное уравнение колебания пластин.
Математические
объекты, названные в честь членов семьи
Дифференциальное
уравнение вида:
с, n≠1, 0.
называется
дифференциальным уравнением Бернулли (в честь Якоба).
Метод решения:
1.
Делим левую и правую части на yn

2.
Выполняем замену
               
3.
Решаем дифференциальное уравнение

Оно
может быть решено с использованием интегрирующего множителя

Пример:

Делим
на y2

Замена
переменных

Умножаем
на M(x),

Результат

Закон
Бернулли
Закон
Бернулли (в честь Даниила Бернулли) является следствием закона сохранения энергии
для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой
жидкости:

Здесь
ρ – плотность
жидкости,
v – скорость потока,
h – высота, на
которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
p – давление.
Константа
в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом
Бернулли. Размерность всех слагаемых – единица энергии, приходящейся на
единицу объёма жидкости. Для горизонтальной трубы h
= 0 и уравнение Бернулли принимает вид:

Эта
форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения
Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ:

Согласно
закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается
постоянным вдоль этого потока.
Полное
давление
состоит из весового (ρgh), статического
(p) и динамического () давлений.
Из
закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания
скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это
является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для
ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости
потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных
насосов.
Закон
Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна
нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На
самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности
твердого тела всегда в точности равна нулю.
Закон
Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой

Источники:

Живая геометрия

0

ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Оглавление
Введение
Глава
1. Теоретические изложения
1.1
Краткий анализ литературы
1.2
Описание геометрических законов
1.3
Сущность геометрических построений
Глава
2. Из истории
2.1 О
сравнении природных явлений с геометрическими законами
2.2
Открытие некоторых геометрических построений
Глава
3. Практическая часть
3.1
Сущность графического образования, и его место в
современном мире
3.2
Выбор практических заданий
3.4
Содержание практической работы
Заключение
Литература
Введение
Почему наш мир прекрасен? Почему
формы и цвета живой природы не во всем соответствуют принципу биологической
целесообразности, но во многом следуют общим закономерностям гармонии,
выявляющимся путем строгого математического анализа? В свое время создатель
теории эволюции — Чарльз Дарвин — предположил, что случайно появляющиеся в
живой природе эстетические закономерности привлекают особей другого пола и
закрепляются в последующих поколениях. При изучении природы мы находим в ней все
больше эстетических признаков, которые выявляются, как правило, не сразу, но
после детального математического анализа.
Исследования последних лет
показали, что эстетически воспринимаемые формы живой природы большей частью
связаны с неевклидовой симметрией, выявляемой, опять-таки, лишь после тщательного
математического анализа. То же самое можно сказать и относительно пения птиц,
совершенство форм которого можно оценить лишь после применения специальной
записывающей аппаратуры. Другими словами — эстетически правильные формы
являются гораздо более распространенными в природе, чем это может показаться на
первый взгляд.
При использовании законов
геометрии природы в новой ситуации, для изучения курсов предметов, связанных с
геометрическими построениями, мы повышаем общую мотивацию к учению. В
результате учащиеся заново переосмысливают изученные геометрические законы,
развивают геометрическую интуицию.
Кроме того, в процессе выполнения
творческих заданий различного содержания, ребята знакомятся с возможными
сферами применения геометрических знаний (художниками, архитекторами,
дизайнерами и т.д.). Это служит повышению интереса к предмету и осознанному
выбору профиля обучения в старшей школе, а опыт и знания, приобретенные в
процессе изучения компьютеризированного курса, расширяют геометрические
представления учащихся и помогут при дальнейшем их обучении.
Целью нашей работы является изучение
проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной
практической деятельности.
Для достижения этой цели следует
решить ряд задач:
·
Изучить теоретические источники по проблеме;
·
Ознакомиться с сущностью геометрических законов и основанных на
них построениях;
·
Рассмотреть исторические аспекты геометрических законов и
построений;
·
Изучить практическое преломление данной темы;
·
Проанализировать полученные сведения, дать рекомендации по
практическому использованию «живой геометрии».
В данной работе используются
следующие методы: анализ теоретических источников и разработка практических
упражнений.
Объектом исследования является геометрия
в живом мире.
Предметом изучения являются
способы геометрических построений, соотносимые с геометрией в живом мире.
Гипотеза исследования такова: при
создании специальных условий обучения с использованием «живой геометрии»
наблюдается положительная динамика в мотивационной сфере школьников, в
отношении к занятиям черчением и геометрическими построениями.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИЗЛОЖЕНИЯ
1.1
Краткий анализ литературы
«Многие народы с древнейших
времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как эквиваленте
уравновешенности и гармонии. В геометрических орнаментах всех веков запечатлены
неиссякаемая фантазия и изобретательность художников и мастеров, чье творчество
было ограничено жесткими рамками, установленными неукоснительным следованием
принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире идеи симметрии нередко можно
обнаружить в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Операции симметрии часто
служат канонами, которым подчиняются балетные па: симметричные движения
составляют основу танца… Формы восприятия и выражения во многих областях
науки и искусства, в конечном счете, опираются на симметрию, используемую и
проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям
науки или видам искусства. Помимо специализированных приложений принципы
симметрии могут служить также для унификации и объединения обширного круга
знаний» [30].
«Изучая внешнюю форму и строение
кристаллов, законы механического движения, природу физических полей,
элементарные частицы и их квантовомеханическое поведение, законы сохранения,
строение растений, животных и человека, математические абстракции, реалии
предметного быта, архитектуру, скульптуру, живопись, поэзию и музыку, человек
везде стремился найти и находил упорядоченность, гармонию, пропорциональность,
соразмерность, то, что он, в конце концов, обозначил одним понятием —
симметрия. В это емкое понятие включаются и закономерное расположение в
пространстве одинаковых материальных объектов, и упорядоченное изменение во
времени различных звуков, и математические законы, и строго определенные
изменения физических состояний и свойств частиц и полей» [27].
Приведенные высказывания подчеркивают
необычайную широту применения понятия симметрии, его многоликость и всеобщность.
Какие бы сферы человеческой деятельности (будь то наука или искусство) мы ни
рассматривали, везде обнаруживается симметрия. Нет, пожалуй, таких сфер
деятельности, где понятие симметрии не применялось бы.
Из сказанного выше следует, что
симметрия является глобальным понятием. Естественно возникает вопрос о том, как
может выглядеть глобальное (самое общее) определение данного понятия. Такое
определение почти автоматически возникает, если мы обратимся к диалектическим
категориям «изменение» и «сохранение». Почему эти категории называются
диалектическими? Дело в том, что понятие сохранения оказалось бы попросту
ненужным, если бы в мире вдруг исчезли изменения. Точно так же понятие изменения
имеет смысл лишь постольку, поскольку можно наблюдать сохранение. Указанные
понятия противоположны, но при этом имеют смысл лишь в сопоставлении друг с
другом. Как принято говорить, они едины в своей противоположности. Именно в
этом смысле мы говорим об их диалектическом единстве. Поставим вопрос: через
какое понятие выражается диалектическое единство изменения и сохранения?
Отвечаем: таким понятием как раз и является понятие симметрии, рассматриваемое
в самом общем плане [29].
Итак, с общей точки зрения, симметрия
есть понятие, выражающее диалектическое единство изменения и сохранения. Как
отмечал Р. Фейнман, симметричным следует считать такой объект, «который можно
как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали» [25].
По выражению Н. Ф. Овчинникова, «единство
сохранения и изменения — вот краткая формула симметрии, выявляющаяся на
абстрактно-теоретическом уровне».
Можно говорить о следующей структуре
понятия симметрии [9]:
• есть объект, симметрия которого
рассматривается (это может быть не только материальный объект, но также
изображение, текст, нотное письмо, физическое или какое-либо иное явление,
например танец);
• есть изменение
(преобразование), по отношению к которому рассматривается симметрия;
• есть сохранение (неизменность)
объекта или отдельных его свойств или сторон, которое и выражает
рассматриваемую симметрию.
Коротко говоря, симметрия
заключается в сохранении чего-то при каких-то изменениях. С симметрией мы
встречаемся всякий раз, когда при каких-то изменениях что-то сохраняется. В
этом смысле понятие симметрии оказывается, по сути дела, тождественным понятию
инвариантности.
Уместно напомнить, что древние
греки отождествляли симметрию с гармонией и что, по Пифагору, «гармония есть
то, что приводит противоположности к единству». Правда, Пифагор не уточнял, о
каких противоположностях идет речь. Судя по всему, он не собирался
ограничиваться диалектическим единством изменения и сохранения, что и
предопределяло нечеткость и расплывчатость понятия симметрии (как и понятия
гармонии) [15;31].
Следуя идеям Ю. Вигнера, которые
были изложены им в работах «Симметрия и законы сохранения» и «Роль принципов
инвариантности в натуральной философии», выделим три уровня научного познания.
Первый уровень (наиболее простой) — это уровень явлений (физических,
химических, биологических и др.). Процесс познания начинается с данного уровня,
т.е. с изучения и сопоставления разнообразных явлений, происходящих в
окружающем нас мире. Это изучение позволяет обнаружить существование между
различными явлениями тех или иных взаимосвязей, которые как раз и
представляются нами как законы природы. Выявляя их, исследователь переходит на
второй уровень познания — уровень законов природы. Анализ законов природы
позволяет осуществить затем переход на третий уровень — уровень принципов
симметрии (принципов инвариантности) [10].
Вигнер отмечал: «С весьма
абстрактной точки зрения существует глубокая аналогия между отношением законов
природы к явлениям, с одной стороны, и отношением принципов симметрии к законам
природы — с другой… Функция, которую несут принципы симметрии, состоит в
наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней
связи, так же как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире
явлений… Законы природы позволяют нам предвидеть одни явления на основе того,
что мы знаем о других явлениях; принципы инвариантности должны позволять нам
устанавливать новые корреляции между явлениями на основании уже установленных
корреляций между ними» [9].
Как подчеркивал Вигнер, мы просто
были бы не в состоянии формулировать законы природы, если бы корреляции
(взаимосвязи) между событиями (явлениями) не были инвариантными по отношению к
пространственно-временным преобразованиям. Он писал: «Законы природы не могли
бы существовать без принципов инвариантности. Если бы корреляции между
событиями менялись день ото дня и были бы различными для разных точек
пространства, то открывать законы природы было бы невозможно. Таким образом,
инвариантность законов природы относительно сдвигов в пространстве и времени
служит необходимой предпосылкой того, что мы можем открывать корреляции между
событиями, т. е. законы природы» [10].
Вигнер говорил об определенной иерархии
нашего знания об окружающем мире, имея в виду «переход с одной ступени на
другую, более высокую — от явлений к законам природы, от законов природы к
симметрии, или принципам инвариантности» [10].
Итак, глобальность понятия
симметрии объясняется тем, что в иерархической лестнице познания симметрия
представляет самую высокую ступень, характеризующуюся наибольшей степенью
обобщения. В чем проявляется эта наибольшая степень обобщения? Выделим три
момента [5]:
1) Симметрия помогает выделить в
нашем столь изменчивом и динамичном мире различные инварианты (сохраняющиеся
величины, определенные закономерности, своеобразные «опорные точки»);
2) Симметрия позволяет найти и
выделить общее в многообразии наблюдаемых объектов и явлений;
3) Симметрия ограничивает число
возможных структур и возможных вариантов поведения систем.
Возвращаясь еще раз к Вигнеру,
отметим, что ученый указывал на двоякую роль принципов симметрии в научном
познании [10].
Во-первых, они играют роль
пробного камня при проверке справедливости тех или иных законов природы,
степени их общности.
Во-вторых, принципы симметрии
позволяют в ряде случаев непосредственно открывать новые законы, иначе говоря,
предсказывать неизвестные ранее корреляции между явлениями.
Понятие симметрии проходит
фактически через всю многовековую историю человечества, постепенно углубляясь.
Оно обнаруживается уже у истоков человеческого знания; его широко и эффективно
используют все без исключения направления современной науки. Закономерности,
обнаруживаемые в неисчерпаемой в своем многообразии картине природных явлений,
подчиняются принципам симметрии. Эти принципы играют важную роль в физике и
математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре,
поэзии и музыке [25].
Но существует еще понятие
фрактальной геометрии (геометрии неправильных форм).
image050.jpg
Подпись: Рисунок 1. Фрактальное дерево, смоделированное на компьютере.
То, как определил фракталы Бенуа
Мандельброт, который первый сформулировал определение фрактала, довольно точно
описывает его: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из
причин в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря.
Облака — это не сферы, горы — не конусы, берега — не окружности и кора дерева
не является гладкой, и молния не движется по прямой…. Природа демонстрирует
нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Набор
масштабов измерения длин объектов неограниченно велик и способен обеспечить
бесконечное число потребностей. Существование этих объектов бросает нам вызов,
склоняя к изучению их форм. Этого избежал Евклид, оставив в стороне вопрос о
том, как быть с бесформенным, как исследовать морфологию живого. Математики
пренебрегали этим вызовом, более того — хотели убежать от природы, изобретая
теории, не связанные ни с чем, что бы мы могли увидеть или почувствовать» [19].
На рисунке 1 представлено
фрактальное дерево, созданное с помощью компьютера английским ученым Майклом
Бэтти. Каждая веточка дерева разделяется на две, чтобы в итоге создать
фрактальный купол. Иллюстрация слева представляет шесть итераций или ветвлений.
На тринадцатой итерации (иллюстрация справа) дерево приобретает уже более
реалистические черты. Рекурсивное моделирование может генерировать различные
разновидности деревьев с помощью изменения фрактального числа. Фрактальные
деревья иллюстрируют тот факт, что фрактальная геометрия — мера изменений.
Каждое разветвление дерева, каждый изгиб на реке, каждое изменение направления
рынка — точка принятия очередного решения [19].
1.2 Описание
геометрических законов
Вокруг нас с необычным упорством
повторяются два вида симметрии. Один — это зеркальная, или билатеральная, симметрия
— «симметрия листка» (сам листок, гусеница, бабочка), другой соответствует
радиально-лучевой симметрии (ромашка, подсолнечник, грибы, деревья, султан
паров, фонтан). Очень важно отметить, что на несорванных цветах и грибах,
растущих деревьях, бьющем фонтане или столбе паров плоскости симметрии
ориентированы всегда вертикально.
На этом основании можно
сформулировать в несколько упрощенном и схематизированном виде общий закон,
ярко и повсеместно проявляющийся в природе [33].
Все то, что растет или движется
по вертикали, т. е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется
радиально-лучевой («ромашково-грибной») симметрии в виде веера пересекающихся
плоскостей симметрии. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно
по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии —
«симметрии листка» (одна плоскость симметрии).
Этому всеобщему закону послушны
не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые
неподатливые камни. Известный советский кристаллограф Г. Г. Леммлейн
(1901—1962) установил, что кристаллы кварца, развивавшиеся в вертикальном
направлении на дне хрусталеносной пещеры, имеют внешнюю радиальную симметрию.
Вместе с тем внешняя симметрия кристаллов того же кварца, образовавшихся на
стенке пещеры и разраставшихся в косом или горизонтальном направлении, нередко
отвечает «симметрии листка». В этом отношении кристаллы кварца ведут себя
совершенно так же, как цветы. В самом деле, цветочные чашечки, обращенные
кверху (ромашка, подсолнечник), имеют, как мы уже знаем, целый веер
пересекающихся плоскостей симметрии. В то же время цветы, расположенные на
стебле сбоку (душистый горошек, орхидея и др.), обладают, подобно листьям,
только одной плоскостью симметрии [33].
Итак, даже каменный материал покоряется
нашему всесильному закону. Тем более этот закон должен влиять на податливые и
изменчивые формы облаков. И действительно, в безветренный погожий день мы
любуемся куполовидными их очертаниями с более или менее ясно выраженной
радиально-лучевой симметрией. Но вот подул ветер, т. е. добавилась сила,
действующая по горизонтали, и облака вытянулись в одном направлении, образуя
фигуры «рыб», «верблюдов», «горных цепей» и других тел, так часто упоминающихся
на страницах литературных произведений. Все эти тела обладают одной более или
менее ясно выраженной плоскостью симметрии. К сожалению, изменчивость,
расплывчатость и текучесть облаков, слишком быстро меняющихся на наших глазах,
мешают увидеть это. И все-таки мы ясно улавливаем и для них проявление все того
же закона симметрии с билатеральными и радиально-лучевыми формами.
Для того чтобы окончательно
утвердить природный закон, надо хорошо понять и объяснить его сущность. Чем
вызывается всеобщий закон симметрии, которому так послушно подчиняется природа?
Почему с таким упорством повторяются два типа симметрии на всем окружающем нас?
Оказывается, что все это является
в основном результатом воздействия силы земного тяготения. Работу этой силы
можно сравнить с игрой ребенка, который с помощью игрушечной формочки делает
одинаковые песочные пирожки. Наподобие забавы маленького ребенка, но в огромных
масштабах и размерах сила земного тяготения налагает свою «длань
незримо-роковую» на все находящееся в поле ее действия.
Отметим, что влияние
универсального закона симметрии является по сути дела чисто внешним, грубым,
налагающим свою печать только на наружную форму природных тел. Внутреннее их
строение и детали ускользают из-под его власти. Все растущее, борясь с
придавливающей к земле силой земного тяготения, стремится, как бы обойти ее и
набирает рост не прямо вверх по вертикали, а по малозаметным винтовым линиям и
спиралям. В природе тяга к спиральному росту особенно четко видна на растениях.
Учет

Источники: