Домой Блог Страница 2

Зодиакальные созвездия: справочная информация

0

Овен (Aries)
Небольшое зодиакальное созвездие,
по мифологическим представлениям изображает золотое руно, которое искал Язон.
Самые яркие звезды — Гамаль (2m, перемен., оранжевый), Шератан
(2.64m, перемен., белый), Мезартим
(3.88m, двойн., белый).
Телец (Taurus)
Заметное зодиакальное созвездие,
ассоциируемое с головой быка. Самая яркая звезда созвездия — Альдебаран (0.87m) — окружена рассеянным звездным скоплением Гиад, но ему
не принадлежит. Плеяды — еще одно красивое звездное скопление в Тельце. Всего в
созвездии четырнадцать звезд ярче 4-й звездной величины.
Оптические двойные звезды: Тета,
Дельта и Каппа Тельца. Цефеида SZ Tau. Затменно-переменная звезда Ламбда Тельца.
В Тельце находится также
Крабовидная туманность — остаток сверхновой, взорвавшейся в 1054 г. В центре
туманности — звезда с m=16.5
Близнецы (Gemini)
Две самые яркие звезды в
Близнецах — Кастор (1.58m, двойн., белый) и Поллукс(1.16m, оранжевый), — носят имена близнецов классической
мифологии.
Переменные звезды: Эта Близнецов
(m=3.1, dm=0.8,спектрально-двойная, затменно-переменная), Дзета Близнецов. Двойные
звезды: Каппа и Мю Близнецов. Рассеянное звездное скопление NGC 2168, планетарная туманность NGC2392. В этом созвездии была открыта планета Плутон в 1930 году.
Рак (Cancer)
Мифологическое созвездие,
напоминает краба, раздавленного ногой Геракла во время битвы с Гидрой. Ни одна
из звезд не превышает 4-й звездной величины, хотя звездное скопление Ясли (3.1m) в центре созвездия можно видеть невооруженным глазом.
Дзета Рака — кратная звезда (А: m=5.7, желт; В: m=6.0, гол,
спектрально-двойная; С: m=7.8). Двойная звезда Йота Рака.
Лев (Leo)
Контур, создаваемый самыми яркими
звездами этого большого и заметного созвездия, отдаленно напоминает фигуру льва
в профиль. Имеются десять звезд ярче 4-й звездной величины, самыми яркими из
которых являются Регул (1.36m, перем., голубой, двойная) и
Денебола (2.14m, перем., белый). Двойные звезды:
Гамма Льва (A: m=2.6, оранж; В: m=3.8, желт) и Йота Льва.
Созвездие Льва содержит многочисленные галактики, включая пять из каталога
Мессье (M65, M66, M95, M96 и M105).
Дева (Virgo)
Зодиакальное созвездие, второе по
величине в небе. Самые яркие звезды — Спика (0.98m, перем., голубой), Виндемиатрикс (2.85m, желтый). Кроме того, в состав созвездия входит семь звезд ярче 4-й
звездной величины. Созвездие содержит богатое и относительно близкое скопление
галактик в Деве. Одиннадцать наиболее ярких галактик, находящихся в пределах
границ созвездия, внесены в каталог Мессье.
Весы (Libra)
Звезды этого созвездия ранее
относились к Скорпиону, который по Зодиаку идет следом за Весами. Созвездие
Весов — одно из наименее заметных созвездий Зодиака, лишь пять его звезд ярче
4-й звездной величины. Самые яркие — Зубен эль Шемали (2.61m, перем., голубой) и Зубен эль Генуби (2.75m, перем., белый)
Скорпион (Scorpius)
Большое яркое созвездие южной
части зодиака. Самая яркая звезда созвездия — Антарес (1.0m, перем, красный, двойная, спутник голубоватый).
Созвездие содержит еще 16 звезд ярче 4-й звездной величины. Звездные скопления:
М4, М7, М16, М80.
Стрелец (Sagittarius)
Самое южное зодиакальное
созвездие. В Стрельце за звездными облаками лежит центр нашей Галактики(Млечного
Пути). Стрелец — большое созвездие, содержащее множество ярких звезд, в том
числе 14 звезд ярче 4-й звездной величины. В нем находится много звездных
скоплений и диффузных туманностей. Так, в каталог Мессье входит 15 объектов,
отнесенных к созвездию Стрельца — больше чем к любому другому созвездию. В их
числе — туманность «Лагуна»(М8), туманность
«Трехраздельная» (М20), туманность «Омега» (М17) и шаровое
скопление> M22,третье в небе по яркости.
Рассеянное звездное скопление М7
(более 100 звезд) можно увидеть невооруженным глазом.
Козерог (Capricornus)
Самые яркие звезды Денеб Альгеди
(2.85m, белый) и Даби (3.05m, белый). ШЗС М30 расположено вблизи Кси Козерога.
Водолей (Aquarius)
Водолей является одним из самых
больших созвездий. Самые яркие звезды — Садалмелик (2.95m, желтый) и Садалсууд (2.9m, желтый). Двойные звезды: Дзета (А: m=4.4; В: m=4.6; физическая пара,
желтоватый) и Бета Водолея. ШЗС NGC 7089, туманности NGC7009 («Сатурн») NGC7293(«Геликс»).
Рыбы (Pisces)
Большое, но слабое зодиакальное созвездие.
Три яркие звезды имеют лишь 4-ю звездную величину. Главная звезда — Альриша
(3.82m, спектрально-двойная, физическая
пара, голубоватый).

Источники:

Знакопеременные ряды — ряды с комплексными членами

0

Рассмотрим


Замечание:1)Признак Лейбница явл. достаточным услов.2) теорема остается справедливой в части сходимости если монот. послед. An выполняется с некоторого места.

20. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Определение: Ряды содержат как положит та и отрицат члены, наз знакопеременными

Док-во:

Ряды с комплексными членами

Определение: Если сх. ряд , то ряд наз. абсолютно сходящимся Если ряд расходится, а исходный ряд

то сходится условно(неабсалютно)

Теорема: абсол. сход. ряда при любой перестановке его членов остается абсол. сход. и его сумма не изменяется.

Замечание: Утверждение теоремы справедливо для любого сход. знакопостоянного ряда. Условно сход ряды этим св-ом не обладают.

Теорема(Римана) Если дан ряд сходящийся условно, то каково бы ни было наперед заданное число А, можно так переставить члены ряда, что преобразованный ряд станет расходиться и будет иметь своей суммой А

21. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Рассмотрим

Определение: Рад вида наз. функциональным рядом. Если рядсход. то значение наз. точкой сход. функционального ряда.

Мн-во всех точек сходимости фун. ряда наз областью сходимости.

— сумма функционального ряда

-n-ый остаток функц ряда

Сходимость функц ряда в каждой точке х принадлежащей области Д наз поточечной сходимостью.

Функциональный ряд наз абсолютно сходящийся на мн-ве Д, которое явл подмножеством Х, если в каждой точке мн-ва Д1 сход ряд

Равномерная сходимость функционального ряда

Определение: Функц ряд наз равномерно сходящимся к функции S(x) на D если для любого Е>0сущ номер N зависящий только от Е.

Определение: числовой ряд с неотриц членами наз мажорантой для функционального ряда если

1) для любого n

2)ряд сходится

Теорема: (признак Вейерштрасса) если у функционального ряда на мн-ве D сущ сходящаяся мажоранта, то функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на мн-ве D.

Замечание: признак Вейерштрасса дает лишь достаточное условие равномерной и абсолютной сход функц ряда.

22.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании.

Теорема1:(о непрерывности функционального ряда)

1)Пусть все члены ряда непрерывны на D

2) ряд— сходится равномерно на мн-ве D, тогда S(x) явл непрерывной функцией на мн-ве D

Теорема2: ( о по членном интегрировании функц ряда)

1) непр.[a;b]

2) сходится равномерно на [a;b], тогда возраст можно интегр на

причем сход равномерно на [a;b]

Теорема3: ( о почленном диф функц ряда)

Пусть:

1) сход на [a;b]

2) непрерывно диф на [a;b]

3)-сход равномерно на [a;b]

Тогда ряд — можно диф почленно

-т. е. S(x) непрер диф функция

23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида (1), где , , R или (1’), где ,,

Источники:

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

0

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется
знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является
знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют
противоположные знаки.
Признак Лейбница

Источники:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

0

Вывод: ряд Дирихле

при

Этот ряд удобно использовать в признаках сравнения.

28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Ряд вида: (1)

Остатком ряда (1) называется сумма: (2)

Теорема (Признак Лейбница) – дан знакочередующий ряд (1), тогда если:

1.Члены ряда убываю по абсолютному значению начиная с некоторой последовательности: (3)

2.Предел

То ряд (1) сходится и его сумма не превосходит 1-ого члена ряда — остаток ряда удовлетворяет неравенство .

Ряд удовлетворяющий теореме Лейбница называется рядом Лейбница. Неравенство дает оценку остатка ряда Лейбница.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов: Пусть даны два ряда и , они сходятся абсолютно к ; , тогда:

1)Ряд ;

2)Ряд , (где α – действительное число);

3)Пусть ряда сходится условно, тогда оба ряда полученных только из положительных и только из отрицательных членов этого ряда расходятся;

4)Если ряд сходится абсолютно и его сумма равна A, то при перестановке его членов ряд остается сходящимися и его сумма не меняется;

5)Если ряд сходится условно, то наперед заданного числа C, существует перестановка членов ряда, такая, что сумма полученного ряда равна C.

29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .

Ряд (1)

Ряд (1) называется функциональным, т. к. его члены являются функциями от x. Давая x определить числовые значения мы получим различные числовые ряды, которые могут сходится или расходится.

Определение: Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Сумма ряда обозначается S(x) и она является функцией от (x).

– это ряд геометрической прогрессии, со знаменателем q = x. Ряд сходится , т. е. или — область сходимости. , .

30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Среди функций рядов особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции.

Определение: Степенным рядом называется функция ряда вида:

(1)

— постоянные числа, называются коэффициенты ряда.

— действительная переменная.

Рассмотрим ряд:

(2)

Ряд (2) – степенной ряд со степенями , – некоторое число. Ряд (2) сводится к ряду (1) заменой: . Поэтому будем рассматривать только ряд (1). Выясним вопрос о сходимости ряда (1).

Теорема Абеля:

1.Если степенной ряд (1) сходится, при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении x, для которого ;

2.Если степенной ряд (1) расходится, при некотором значении , то он расходится при всяком x удовлетворяющем неравенству ;

Поясним теоремы:

1.Если ряд (1) сходится в точке , то он абсолютно сходится в интервале (;) с центром в точке O;

2.Если ряд расходится в точке , то он расходится в интервалах . Отметим это на числовой прямой:

Вывод: Область сходимости степенного ряда (1) является интервал конечный и бесконечный с центром в точке O или единственная точка O.

Положим , тогда интервал сходимости будет (-R,R). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, т. е. это такое число, что при всех степенной сходится абсолютно, а при всех расходится.

Источники:

Знакомство с топологией

0

МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО ПО
ОБРАЗОВАНИЮ
КУРГАНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Факультет
психологии
валеологии
и спорта
РЕФЕРАТ
Тема:
«Знакомство
с топологией»
2009 г.
План
Введение
1.
Основные этапы
развития топологии
2.
Общая характеристика
топологии
3.
Общая топология
4.
Топологическое
пространство
5.
Важные проблемы
и результаты
Заключение
Список
использованных
источников
и литературы
Введение
Топология
– сравнительно
молодая математическая
наука. Примерно
за сто лет ее
существования
в ней достигнуты
результаты,
важные для
многих разделов
математики.
Поэтому проникновение
в «мир топологии»
для начинающего
несколько
затруднительно,
так как требует
знания многих
фактов геометрии,
алгебры, анализа
и других разделов
математики,
а также умения
рассуждать.
Топология
оказывает
влияние на
многие разделы
математики.
Она изучает,
в частности,
такие свойства
произвольных
геометрических
образов, которые
сохраняются
при преобразованиях,
происходящих
без разрывов
и склеивания,
или, как говорят
математики,
– при взаимно
однозначных
и взаимно непрерывных
преобразованиях.
Такие преобразования
называют
топологическими.
Два геометрических
образа в топологии
рассматриваются
как «одинаковые»,
если один из
них можно перевести
в другой топологическим
преобразованием.
Например, круг
и квадрат на
плоскости можно
преобразовать
друг в друга
топологическим
преобразованием
– это топологически
эквивалентные
фигуры. В то же
время круг и
кольцевая
область, получаемая
из круга «выбрасыванием»
концентричного
круга меньшего
радиуса, с точки
зрения топологии
– различны.
Топология
делится на два
раздела – общую
или теоретико-множественную
топологию и
алгебраическую
топологию.
Деление это
в значительной
мере условно.
Одна из основных
задач общей
топологии –
анализ математической
концепции
непрерывности
в ее наиболее
общей форме.
Для этого было
введено понятие
топологического
пространства.
В топологии
разработана
весьма изощренная
алгебраическая
и аналитическая
техника, значение
которой выходит
далеко за пределы
первоначальной
сферы ее применения.
Сюда входит,
в частности,
так называемая
гомологическая
алгебра, которая
является рабочим
инструментом
также и в теории
уравнений с
частными
производными,
в теории функций
многих комплексных
переменных
и т.д. Один из
разделов общей
топологии –
теория размерности.
Что значит, что
некоторое
пространство
двумерно, трехмерно
или, вообще,
n-мерно? Размерность
есть одна из
фундаментальных
характеристик
топологического
пространства.
Определение
ее в общем случае
оказывается
весьма непростым.
В. Кузьминовым
был построен
ряд примеров,
показывающих
парадоксальность
поведения
размерности
в определенных
ситуациях.
И. Шведовым
изучалась
задача об
аксиоматическом
определении
размерностей,
и он опроверг,
в частности,
некоторые
известные
гипотезы, связанные
с этой задачей.
Другой раздел
топологии носит
название теории
Ходжа. Эта теория
объединяет
в себе представления,
относящиеся
к теории уравнений
в частных
производных,
римановой
геометрии и
топологии.
В. Кузьминовым,
И. Шведовым
и В. Гольдштейном
в серии работ
было построено
некоторое
обобщение
теории Ходжа,
применимое
к изучению
многообразий
с особенностями
и многообразий,
удовлетворяющих
пониженным
(в сравнении
с обычной теорией
Ходжа) требованиям
гладкости.
Отличие этой
обобщенной
теории Ходжа,
– с точки зрения
дифференциальных
уравнений, –
в том, что эта
теория существенно
нелинейно.
1. Основные
этапы развития
топологии
Отдельные
результаты
топологического
характера были
получены ещё
в 18–19 вв. (теорема
Эйлера о выпуклых
многогранниках,
классификация
поверхностей
и теорема Жордана
о том, что лежащая
в плоскости
простая замкнутая
линия разбивает
плоскость на
две части).
В начале
20 в. создаётся
общее понятие
пространства
в Топология
(метрическое
– М. Фреше,
топологическое
– Ф. Хаусдорф),
возникают
первоначальные
идеи теории
размерности
и доказываются
простейшие
теоремы о непрерывных
отображениях
(А. Лебег, Л. Брауэр),
вводятся полиэдры
(А. Пуанкаре)
и определяются
их так называемые
числа Бетти.
Первая
четверть 20 в.
завершается
расцветом общей
Топология и
созданием
московской
топологической
школы; закладываются
основы общей
теории размерности
(П.С. Урысон);
аксиоматике
топологических
пространств
придаётся её
современный
вид (П.С. Александров);
строится теория
компактных
пространств
(П.С. Александров,
П.С Урысон) и
доказывается
теорема об их
произведении
(А.Н. Тихонов);
впервые даются
необходимые
и достаточные
условия метризуемости
пространства
(П.С. Александров,
П.С. Урысон);
вводится понятие
локально конечного
покрытия; вводятся
вполне регулярные
пространства
(А.Н. Тихонов);
определяется
понятие нерва
и тем самым
основывается
общая теория
гомологий.
Под влиянием
Э. Нётер числа
Бетти осознаются
как ранги групп
гомологий,
которые поэтому
называются
также группами
Бетти. Л.С. Понтрягин,
основываясь
на своей теории
характеров,
доказывает
законы двойственности
для замкнутых
множеств.
Во 2-й четверти
20 в. продолжается
развитие общей
Топология и
теории гомологий:
в развитие идей
Тихонова А.
Стоун (США) и
Э. Чех вводят
так называемое
стоун – чеховское,
или максимальное,
(би) компактное
расширение
вполне регулярного
пространства;
определяются
группы гомологий
произвольных
пространств,
в группы когомологий
вводится умножение
и строится
кольцо когомологий.
В это время в
алгебраической
Топология царят
комбинаторные
методы, основывающиеся
на рассмотрении
симплициальных
схем; поэтому
алгебраическая
Топология
иногда и до сих
пор называется
комбинаторной
Топология
Вводятся пространства
близости и
равномерные
пространства.
Начинает интенсивно
развиваться
теория гомотопий
(Х. Хопф, Понтрягин);
определяются
гомотопические
группы (В. Гуревич,
США) и для их
вычисления
применяются
соображения
гладкой Топология.
Формулируются
аксиомы групп
гомологий и
когомологий.
Возникает
теория расслоений;
вводятся клеточные
пространства.
Во 2-й половине
20 в. в СССР складывается
советская школа
общей Топология
и теории гомологий:
ведутся работы
по теории
размерности,
проблеме метризации,
теории (би)
компактных
расширений,
общей теории
непрерывных
отображений
(факторных,
открытых, замкнутых),
в частности
теории абсолютов;
теории так
называемых
кардинальнозначных
инвариантов.
Усилиями
ряда учёных
окончательно
складывается
теория гомотопий.
В это время
создаются
крупные центры
алгебраической
Топология в
США, Великобритании
и др. странах;
возобновляется
интерес к
геометрической
Топология
Создаётся
теория векторных
расслоений
и К-функтора,
алгебраическая
Топология
получает широкие
применения
в гладкой Топология
и алгебраической
геометрии
развивается
теория (ко) бордизмов
и теория сглаживания
и триангулируемости.
В настоящее
время Топология
продолжает
развиваться
во всех направлениях,
а сфера её приложений
непрерывно
расширяется.
2. Общая
характеристика
топологии
Одним
из самых неожиданных
явлений в развитии
математики
XX в. Стал
головокружительный
взлет науки,
известной под
названием
топология.
Топология
(от греч. τόπος
– место и λόγος
– слово, учение)
– раздел геометрии,
изучающий в
самом общем
виде явление
непрерывности,
в частности
свойства
пространства,
которые остаются
неизменными
при непрерывных
деформациях,
например, связность,
ориентируемость.
Желая
пояснить, что
такое топология,
иногда говорят,
что это «геометрия
на резиновой
поверхности».
Это малопонятное
и туманное
описание позволяет,
тем не менее
уловить суть
предмета. Топология
изучает те
свойства
геометрических
объектов, которые
сохраняются
при непрерывных
преобразованиях.
Непрерывные
преобразования
характеризуются
тем, что точки,
расположенные
«близко одна
к другой» до
преобразования,
остаются такими
и после того,
как преобразование
закончено. При
топологических
преобразованиях
разрешается
растягивать
и изгибать, но
не разрешается
ломать и рвать.
(однако, с одной
оговоркой:
когда речь идет
о преобразованиях,
нас не интересует,
что происходит
в процессе этих
преобразований,
важны только
начальное
положение и
конечный результат.
Поэтому допускаются,
скажем, разрезы
по каким-то
линиям, которые
потом склеиваются
по тем же линиям.
Например, если
шнурок завязан
узлом и его
концы соединены,
можно разрезать
его где-то, развязать
узел и снова
соединить на
месте разреза).
Топологию
можно подразделить
на три области:
1) комбинаторную
топологию,
изучающую
геометрические
формы посредством
их разбиения
на простейшие
фигуры, регулярным
образом примыкающие
друг к другу;
2) алгебраическую
топологию,
занимающуюся
изучением
алгебраических
структур, связанных
с топологическими
пространствами,
с упором на
теорию групп;
3) теоретико-множественную
топологию,
изучающую
множества как
скопления точек
(в отличие от
комбинаторных
методов, представляющих
объект как
объединение
более простых
объектов) и
описывающую
множества в
терминах таких
топологических
свойств, как
открытость,
замкнутость,
связность и
т.д. Разумеется,
такое деление
топологии на
области в чем-то
произвольно;
многие топологи
предпочитают
выделять в ней
другие разделы.
Какого
рода свойства
являются
топологическими?
Ясно, что не
те, которые
изучаются в
обычной евклидовой
геометрии.
Прямолинейность
не есть топологическое
свойство, потому
что прямую
линию можно
изогнуть и она
станет волнистой.
Треугольник
– тоже не является
топологическим
свойством, ибо
треугольник
можно непрерывно
деформировать
в окружность.
Итак, в
топологии
треугольник
и окружность
– одно и то же.
Длины отрезков,
величины углов,
площади – все
эти понятия
изменяются
при непрерывных
преобразованиях,
и о них следует
забыть. Очень
немногие привычные
понятия геометрии
годятся для
топологии,
поэтому приходится
искать новые.
Этим топология
трудна для
начинающих,
пока они не
постигнут сути
дела.
Образцом
топологического
свойства объекта
служит наличие
дырки у бублика
(причем довольно
тонкая сторона
этого дела –
тот факт, что
дырка не является
частью бублика).
Какую бы непрерывную
деформацию
ни претерпел
бублик, дырка
останется.
Существует
крылатая фраза,
что тополог
(математик,
занимающийся
топологией)
– это человек,
не отличающий
бублик от чайной
чашки. Это означает,
что наиболее
общие (топологические)
свойства бублика
и чашки одинаковы
(они телесны
и имеют одну
дырку).
Другое
топологическое
свойство –
наличие края.
Поверхность
сферы не имеет
края, а пустая
полусфера
имеет, и никакое
непрерывное
преобразование
не в состоянии
это изменить.
Основные
объекты изучения
в топологии
называются
топологическими
пространствами.
Интуитивно
их можно представлять
себе как геометрические
фигуры. Математически
это – множества
(иногда – подмножества
евклидова
пространства),
наделенные
дополнительной
структурой
под названием
топология,
которая позволяет
формализовать
понятие непрерывности.
Поверхность
сферы, бублика
(правильнее
– тора) или двойного
тора – это примеры
топологических
пространств.
Два
топологических
пространства
топологические
эквиваленты,
если можно
непрерывным
образом перейти
от одного из
них к другому
и непрерывным
же образом
вернуться
обратно.
Нам приходится
вводить требование
непрерывности
как прямого
отображения,
так и обратного
к нему, по следующей
причине. Возьмем
два куска глины
и слепим их
вместе. Такое
преобразование
непрерывно,
поскольку
близкие друг
к другу точки
останутся
таковыми.
Однако
при обратном
преобразовании
один кусок
распадается
на два, и, следовательно,
близкие точки
по разные стороны
от линии раздела
окажутся далеко
друг от друга,
т.е. обратное
преобразование
не будет непрерывным.
Такие преобразования
нам не подходят.
Геометрические
фигуры, переходящие
одна в другую
при топологических
преобразованиях,
называются
гомеоморфными.
Окружность
и граница квадрата
гомеоморфны,
так как их можно
перевести друг
в друга топологическим
преобразованием
(т.е. изгибанием
и растяжением
без разрывов
и склеиваний,
например, растяжением
границы квадрата
на описанную
вокруг него
окружность).
Сфера и поверхность
куба также
гомеоморфны.
Чтобы доказать
гомеоморфность
фигур, достаточно
указать соответствующее
преобразование,
но тот факт,
что для каких-то
фигур найти
преобразование
нам не удается,
не доказывает,
что эти фигуры
не гомеоморфны.
Здесь помогают
топологические
свойства.
3. Общая
топология
Особое
место среди
областей топологии
занимает общая
топология. В
настоящее время
общая топология
достигла того
наиболее
естественного
уровня общности,
который позволяет
излагать
топологические
принципы, концепции
и конструкции
с наибольшей
прозрачностью
и одновременно
обеспечить
им максимально
широкую приложимость
в других разделах
математики.
Общая топология
– это область
математики,
в которой изучаются
общие геометрические
свойства,
сохраняющиеся
при непрерывных
и взаимно однозначных
отображениях.
Наряду
с алгеброй
общая Топология
составляет
основу современного
теоретико-множественного
метода в математике.
Аксиоматически
определяемыми
объектами
изучения общей
топологии
являются пространства
и их непрерывные
отображения.
Под топологическим
пространством
понимается
множество
объектов произвольной
природы, называемых
точками, в котором
выделена некоторая
система подмножеств,
называемых
открытыми
множествами
пространства.
Эта система
должна включать
в себя всё
пространство
и пустое множество
и содержать
в себе вместе
с любыми двумя
множествами
их пересечение
и вместе с любым
набором множеств
множество,
которое является
их объединением.
Существенное
влияние на
развитие общей
топологии
оказало введённое
П.С. Александровым
понятие бикомпактности.
Александров
и Урысон создали
теорию бикомпактных
пространств.
Бикомпактные
пространства
– один из главных
объектов исследования
в общей топологии
– и в настоящее
время находятся
в центре внимания
математиков.
Они играют
важную роль
в теории размерности,
теории гомологий
и других разделах
топологии, а
также имеют
основное значение
в функциональном
анализе. Всякое
вполне регулярное
пространство
является
подмножеством
некоторого
бикомпактного
хаусдорфова
пространства.
В настоящее
время наиболее
распространённым
является следующее
определение
бикомпактного
пространства:
пространство
называется
бикомпактным,
если из всякого
открытого
покрытия этого
пространства
можно выбрать
конечное число
покрывающих
множеств.
В литературе
можно встретить
и другие классы
пространств,
родственные
бикомпактным,
например
псевдокомпактные,
квазикомпактные.
Бикомпактные
пространства
занимают главное
место среди
них и играют
такую же роль
в общей топологии,
как компакты
в классе метризуемых
пространств.
Кроме
того общая
топология
посвящена
изучению понятий
непрерывности,
а также других
понятий, таких
как компактность
или отделимость,
как таковых,
без обращения
к другим инструментам.
4. Топологическое
пространство
Топологическое
пространство
– основной
объект изучения
топологии.
Понятие топологического
пространства
можно рассматривать
как обобщение
понятия геометрической
фигуры, в котором
мы отвлекаемся
от свойств
наподобие
размера или
точного положения
частей фигуры
в пространстве,
и сосредотачиваемся
только на взаимном
расположении
частей. Топологические
пространства
возникают
естественно
почти во всех
разделах математики.
Итак,
топологическое
пространство
определяется
через систему
открытых множеств
посредством
аксиом. Естественно,
само это понятие
базируется
на предварительных
общих понятиях
«пространство»
и «открытое
множество».
В современной
математике
пространство
определяют
как некоторое
абстрактное
множество
произвольных
объектов, для
которых задана
определённая
операция,
осуществляющая
известное
отношение между
элементами
пространства.
Базой для построения
теории того
или иного
абстрактного
пространства
является, с
одной стороны,
общематематическое
понятие множества,
под которым
понимается
произвольная
совокупность
любых объектов
(элементов), а
с другой, –
установленные
определённым
образом структурные
отношения между
этими объектами.
Пусть
дано множество
X. Множество T
его подмножеств
называется
топологией
на X, если выполнены
следующие
свойства:
Все
X и пустое множество
принадлежат
T,
Объединение
произвольного
семейства
множеств,
принадлежащих
T, принадлежит
T,
Пересечение
двух множеств,
принадлежащих
T, принадлежит
T.
Множество
X вместе с заданной
на нем топологией
T называется
топологическим
пространством.
Подмножества
X, принадлежащие
T, называются
открытыми
множествами.
Потребность
в развитии
общего подхода
к понятию
пространства
возникла довольно
давно – в конце
прошлого и
начале нынешнего
столетия. В
связи с развитием
теории функций
действительного
переменного
и функционального
анализа возникли
и другие объекты
– функциональные
пространства
и их подмножества,
– для исследования
которых также
требуются
понятия и методы
общей топологии.
В настоящее
время топологические
методы исследования
применяются
не только в
анализе, но и
во многих других
отраслях математики.
Значительной
является роль
топологических
методов в
дифференциальных
уравнениях.
В результате
синтеза идей
общей топологии
и функционального
анализа возникла
теория топологических
векторных
пространств.
Абстрактные
топологические
пространства
неожиданным
образом могут
возникать и
применяться
в самых различных
областях математики.
Общепринятое
ныне понятие
топологического
пространства
возникло не
сразу. Появившееся
ранее метрические
пространства,
которые и по
сей день являются
важным предметом
изучения общей
топологии, не
могли удовлетворить
математиков.
Первые
достаточно
общие определения
топологического
пространства
даны в работах
Фреше, Рисса
и Хаусдорфа.
Окончательно
определение
топологического
пространства
было сформулировано
польским математиком
К. Куратовским
и П.С. Александровым.
5. Важные
проблемы и
результаты
Теорема
Жордана о замкнутой
кривой. Если
на поверхности
проведена
простая замкнутая
кривая, то существует
ли какое-либо
свойство кривой,
которое сохраняется
при деформации
поверхности?
Существование
такого свойства
вытекает из
следующей
теоремы: простая
замкнутая
кривая на плоскости
делит плоскость
на две области,
внутреннюю
и внешнюю. Эта
кажущаяся
тривиальной
теорема очевидна
для кривых
простого вида,
например, для
окружности;
однако для
сложных замкнутых
ломаных дело
обстоит иначе.
Теорема была
впервые сформулирована
и доказана
К. Жорданом
(1838–1922); однако
доказательство
Жордана оказалось
ошибочным.
Удовлетворительное
доказательство
было предложено
О. Вебленом
(1880–1960) в 1905.
Теорема
Брауэра о неподвижной
точке. Пусть
D – замкнутая
область, состоящая
из окружности
и ее внутренности.
Теорема Брауэра
утверждает,
что для любого
непрерывного
преобразования,
переводящего
каждую точку
области D в точку
этой же области,
существует
некоторая
точка, которая
остается неподвижной
при этом преобразовании.
(Преобразование
не предполагается
взаимно однозначным.)
Теорема Брауэра
о неподвижной
точке представляет
особый интерес
потому, что
она, по-видимому,
является, наиболее
часто используемой
в других разделах
математики
топологической
теоремой.
Проблема
четырех красок.
Проблема заключается
в следующем:
можно ли любую
карту раскрасить
в четыре цвета
так, чтобы любые
две страны,
имеющие общую
границу, были
раскрашены
в различные
цвета? Проблема
четырех красок
топологическая,
так как ни форма
стран, ни конфигурация
границ не имеют
значения.
Гипотеза
о том, что четырех
красок достаточно
для соответствующей
раскраски любой
карты, была
впервые высказана
в 1852. Опыт показал,
что четырех
красок действительно
достаточно,
но строгого
математического
доказательства
не удавалось
получить на
протяжении
более ста лет.
И только в 1976
К. Аппель и
В. Хакен из
Иллинойского
университета,
затратив более
1000 часов компьютерного
времени, добились
успеха.
Односторонние
поверхности.
Простейшей
односторонней
поверхностью
является лист
Мёбиуса, названный
так в честь
А. Мёбиуса,
открывшего
его необычайные
топологические
свойства в
1858. Пусть ABCD (рис. 2,
а) – прямоугольная
полоска бумаги.
Если склеить
точку A с точкой
B, а точку C с точкой
D (рис. 2, б), то получится
кольцо с внутренней
поверхностью,
наружной поверхностью
и двумя краями.
Одну сторону
кольца (рис. 2,
б) можно окрасить.
Окрашенная
поверхность
будет ограничена
краями кольца.
Жук может совершить
«кругосветное
путешествие»
по кольцу, оставаясь
либо на окрашенной,
либо на неокрашенной
поверхности.
Но если полоску
перед склеиванием
концов перекрутить
на пол-оборота
и склеить точку
A с точкой C, а B с
D, то получится
лист Мёбиуса
(рис. 2, в). У этой
фигуры есть
только одна
поверхность
и один край.
Любая попытка
окрасить только
одну сторону
листа Мёбиуса
обречена на
неудачу, так
как у листа
Мёбиуса всего
одна сторона.
Жук, ползущий
по середине
листа Мёбиуса
(не пересекая
края), вернется
в исходную
точку в положении
«вверх ногами».
При разрезании
листа Мёбиуса
по средней
линии он не
распадается
на две части.
Узлы.
Узел можно
представлять
себе как запутанный
кусок тонкой
веревки с
соединенными
концами, расположенный
в пространстве.
Простейший
пример – из
куска веревки
сделать петлю,
пропустить
один из ее концов
сквозь петлю
и соединить
концы. В результате
мы получим
замкнутую
кривую, которая
остается
топологически
той же самой,
как бы ее ни
растягивать
или скручивать,
не разрывая
и не склеивая
при этом отдельные
точки. Проблема
классификации
узлов по системе
топологических
инвариантов
пока не решена.
Заключение
Топология
– очень красивая
наука. Она
осуществляет
связь геометрии
с алгеброй. Ее
идеи и образы
играют ключевую
роль практически
во всей современной
математике
– в дифференциальных
уравнениях,
механике, комплексном
анализе, алгебраической
геометрии,
функциональном
анализе, математической
и квантовой
физике, теории
представлений,
и даже – в удивительно
преображенном
виде – в теории
чисел, комбинаторике
и теории сложности
вычислений.
В частности,
современная
топология
находит широкое
применение
в механике и
математической
физике. Топологические
методы широко
используются
в качественной
теории движения
твердого тела.
Список
использованных
источников
и литературы
Александров П.С.,
Пасынков Б.А. Введение
в теорию размерности.
М.: Наука, 1973
Годеман
Р. Алгебраическая
топология и
теория пучков.
М.: ИЛ, 1961
Келли Дж.Л. Общая
топология. М.:
Наука 1968
Телеман
К. Элементы
топологии и
дифференцируемые
многообразия.
М.: Мир, 1967
Хирцебрух
Ф. Топологические
методы в алгебраической
геометрии. М.:
Мир, 1973
Стюарт
Я. Топология //
Квант – 1992. – №7.

Источники:

Знакочередующиеся ряды — теорема лейбница

0

Лекция 7

Тема: Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

7.1 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение 1. Ряды вида , либо называются знакочередующимися рядами.

Примерами знакочередующихся рядов являются:

знакочередующийся гармонический ряд,

— знакочередующийся ряд Дирихле.

Теорема 1. (Теорема Лейбница)

Пусть в знакочередующемся ряде члены ряда по модулю не возрастают, т. е:

Для того, чтобы знакочередующийся ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы предел общего члена равнялся нулю, т. е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности ряд . Необходимость. Дано: Ряд сходится. Требуется доказать, что предел общего члена равен нулю.

Справедливость этого утверждения вытекает из необходимого признака сходимости ряда.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что ряд сходится.

Сначала докажем сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами

Имеем:

S2 ≤S4 ≤S6 ≤…. ≤S2n ≤…. ,

т. е. последовательность {S2n}∞ не убывает.

S2n запишем в следующем виде:

Последовательность {S2n} не убывающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел:

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечётными номерами {S2n+1} и найдём предел этой последовательности.

, т. к. по условию. Отсюда следует, что . Теорема Лейбница справедлива для рядов т. к. данный ряд получается из ряда умножением на (-1), что не меняет сходимости ряда. Для ряда справедливо равенство: |S|<|a1|.

7.2. Оценка суммы знакочередующегося ряда

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то ряд сходится и его суммы удовлетворяет неравенству:

|S|<|1|.

Пример 1. Вычислить сумму ряда c точностью ε=0.01

Решение. Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают и .

По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S

Ошибка, которая при этом допущена, равна . Rn называется остатком ряда. Остаток ряда Rn является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, | Rn| . Если < 0.01, то и | Rn|100, n>99.

7.3 Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. если сходится ряд .

Определение 3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если данный ряд сходится, а ряд из модулей членов данного ряда расходится.

Например, ряд абсолютно сходится, а ряд — условно сходится.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда , который будет знакоположительным рядом и к нему можно применить теорему сравнения. Имеем:

Так как ряд Дирихле сходится, то сходится ряд . Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, а по теореме 2 можно утверждать, что он сходится.

Источники:

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

0

Содержание
1. Признак
Даламбера
2. Признак
Коши
3. Интегральный
признак сходимости
ряда
4. Знакочередующиеся
ряды. Признак
Лейбница
5. Знакопеременные
ряды. Абсолютно
и условно сходящиеся
ряды
Список
использованных
источников
1. Признак
Даламбера
Теорема 1
(признак Даламбера).
Пусть дан ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
где все
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
> 0.Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЕсли
существует
предел
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
то при 0Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды<1 ряд сходится, а при Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
> 1 ряд сходится.
◄Пусть существует
предел
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
где 0Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды<1. Возьмем q такое, что Знакочередующиеся и знакопеременные ряды< q 0, например, для Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,найдется
номер N такой,
что для всех
n ≥ N будет выполняться
неравенство
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< q - Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
В частности,
будем иметь
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< q - Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
или
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< q, Откуда Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq
для всех n ≥ N. Из
этого неравенства,
придавая n
последовательно
значения N, N+1,N+2,
получим
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq
< Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды,
………………………….
Члены ряда
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+…
Не превосходят
соответствующих
членов ряда
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq
+Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq
+Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды+…
,
который
сходятся как
ряд, составленный
из членов
геометрической
прогрессии
со знаменателем
q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+…
сходится,
а значит, сходится
и исходный ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
В случае
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
> 1, начиная с
некоторого
номера N, будет
выполняться
неравенство
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
> 1, или
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
>
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
> 0.
Следовательно,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
0, и ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
расходится,
так как не выполнен
необходимый
признак сходимости.

Замечание.
Если
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды1,
Или не существует,
то признак
Даламбера
ответа о сходимости
или расходимости
ряда не дает.
Примеры.
Исследовать
на сходимость
следующие ряды:
1.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
.
◄ Для данного
ряда имеем
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Тогда
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.
По признаку
Даламбера ряд
сходится. ►
2.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
.
◄ Имеем
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды=
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Данный ряд
расходится.

2. Признак
Коши
Теорема 2
(признак Коши).
Пусть дан ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
. (1)
Если существует
конечный предел
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
то 1) при
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
ряд сходится;2)
при
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
ряд расходится.
◄ 1) Пусть
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Возьмем число
q такое, что
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Так как существует
предел
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
где
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
то, начиная с
некоторого
номера N , будет
выполняться
неравенство
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
В самом деле,
из определенного
равенства
вытекает, что
для любого ε
,в том числе
и для
ε =
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
найдется такой
номер N , начиная
с которого
будет выполняться
неравенство
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
откуда
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды
или что тоже,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Отсюда получаем
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
для
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Таким образом,
все члены ряда,
начиная с
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
меньше соответствующих
членов сходящегося
ряда
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
По признаку
сравнения ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды
сходится,
а значит сходится
и ряд(1).
2)Пусть
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Тогда, начиная
с некоторого
номера N для
всех n > N , будет
выполняться
неравенство
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
или
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Следовательно,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
И ряд (1) расходится.

Замечание.
Если
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
то ряд (1) может
как сходиться,
так и расходиться.
Примеры.
Исследовать
на сходимость
следующие ряды:
1.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
.
◄ Имеем
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Ряд сходится.

2.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
◄ Здесь
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды
Ряд сходится.

3. Интегральный
признак сходимости
ряда
Теорема 3
(интегральный
признак сходимости).
Пусть функция
f(x) определена,
непрерывна,
положительна
и не возрастает
на луче
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Тогда:
1) числовой
ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
сходится, если
сходится
несобственный
интеграл
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
; (1)
2) ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
расходится,
если расходится
несобственный
интеграл (1)
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
◄ Возьмем
на графике
функции f(x) точки
с абсциссами
x1=1,
x2=2, x3=3, … , xn = n
и
построим две
ступенчатые
фигуры, состоящие
из выступающих
и входящих
прямоугольников
так, как показано
рис. 1. Площадь
Q криволинейной
трапеции,
ограниченной
прямыми x = 1, x = n, y=0 и
кривой y = f(x) равна
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Возьмем n-ю
частичную сумму
ряда
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды:
S n = f(1)
+ f(2) + f(3) + … + f(n) ,
Тогда
площадь Q+ выступающей
фигуры будет
равна
Q+= f(1) +
f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1
А
площадь Q- входящей
фигуры равна
Q- = +
f(2) + f(3) + … + f(n) = S n — f(1).
Из
построения
и свойств функции
f(x) следует, что
Q- < Q < Q+ , т.е. S n - f(1) < Знакочередующиеся и знакопеременные ряды< S n-1. Так как S n-1 < S n (в силу условия Знакочередующиеся и знакопеременные ряды),
то
S n — f(1) < Знакочередующиеся и знакопеременные ряды< S n, n =1,2, … . (2) 1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,
так
как
Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды
(в силу условия
f(x) > 0 для
Источники:

Знаки тригонометрических функций

0

Величины углов (аргументы функций): (alpha)
Тригонометрические функции: (sin alpha ), (cos alpha ), (tan alpha ), (cot alpha ), (sec alpha ), (csc alpha )
Координаты точки окружности: (x), (y)

Источники:

Знаходження власних значеннь лінійого оператора

0

Міністерство
освіти і науки
України
ФАКУЛЬТЕТ
ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА
ІНФОРМАЦІЙНИХ
УПРАВЛЯЮЧИХ
СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний
№________
Дата ___________________
КУРСОВА РОБОТА
Тема:
Знаходження
власних значень
лінійного
оператора
Рекомендована
до захисту
“____” __________ 2008р.
Робота захищена
“____” __________ 2008р.
з оцінкою
_____________________
Підписи членів
комісії
Зміст
Вступ
Теоретична
частина
1. Означення
і найпростіші
властивості
лінійних операторів
2. Матриця
лінійного
оператора
3. Власні вектори
й власні значення
лінійного
оператора
Практична
частина
1. Опис програми
2. Текст програми
3. Контрольний
приклад
Висновок
Список літератури
Вступ
Власні значення
грають при
вивченні лінійних
операторів
дуже велику
роль.
Нехай
в дійсному
лінійному
просторі

задан лінійний
оператор
.
Якщо вектор
,
відмінний від
нуля, переводиться
оператором

у вектор, пропорційний
самому
,
,
де

деяке дійсне
число, то вектор

називається
власним вектором
оператора
,
а число

власним значенням
цього оператора,
причому, власний
вектор

відноситься
до власного
значення
.
Обертання
евклідової
площини навколо
початку координат
на кут, що не
являється
кратним
,
є прикладом
лінійного
оператора, що
не має власних
векторів. Прикладом
іншого випадку
є розтягнення
площини, при
якому всі вектори,
що виходять
з початку координат,
причому всі
нульові вектори
площини будуть
для нього власними;
всі вони відносяться
до власного
значення 5.
Теоретична
частина
1. Означення
і найпростіші
властивості
лінійних операторів
В теорії
лінійних просторів
та її застосування
важливу роль
відіграють
лінійні оператори,
які інакше
називають
лінійними
перетвореннями.
Нехай

деякий векторний
простір над
полем
.
Означення
1. Вважають,
що у векторному
просторі

задано оператор,
якщо вказано
правило (закон),
за яким кожному
вектору

простору

ставиться у
відповідність
деякий вектор

цього ж простору.
Про цьому вектор

називають
образом вектора
,
а

називають
прообразом
вектора
.
Як бачимо,
оператор у
векторному
просторі

– це функція,
множиною відправлення
і множиною
прибуття якої
є простір
.
Означення
2. Оператор

у векторному
просторі

називається
лінійним, якщо
він задовольняє
такі умови:


Лінійні
оператори в
просторі

називають також
лінійним
перетворенням
простору
.
З означення
2 випливають
безпосередньо
такі властивості
лінійних операторів:
1. Будь-який
лінійний оператор

у просторі

залишає нерухомим
нульовий вектор

цього простору,
тобто
.
2. Всякий
лінійний оператор

у просторі

протилежному
вектору –
будь-якого
вектора
,
ставить у
відповідність
вектор, протилежний
образу вектора
,
тобто
.
3. Кожен
лінійний оператор

у просторі

будь-який лінійний
комбінації
довільно вибраних
векторів

простору

ставить у
відповідність
лінійну комбінацію
(з тими самими
коефіцієнтами)
образів цих
векторів, тобто
.
2. Матриця
лінійного
оператора
Нехай

деякий лінійний
оператор у
просторі
.
Виберемо в

який-небудь
базис
.
Оператор

відображає
вектори цього
базису в деякі
вектори
.
Кожен вектор

єдиним способом
лінійно виражається
через вектори
базису
.
Припустимо,
що

Складемо
з коефіціентів

матрицю
.
Рядками матриці

є координатні
рядки векторів
в
базисі
.
Оскльки координатні
рядки векторів

визначені
однозначно,
то й матриця

визначається
оператором

в базисі
.
Будемо
вважати, що в
базисі

лінійний оператор

задається
матрицею
.
Отже,
при зафіксованому
базисі

кожному лінійному
оператору

простору

відповідає
певна квадратна
матриця
-го
порядку – матриця
цього оператора.
3. Власні вектори
й власні значення
лінійного
оператора
Означення
1. Підпростір

лінійного
простору

називається
інваріантним
відносно оператора
,
якщо
,
тобто якщо
образ

будь-якого
вектора

із

міститься в
.
Нехай
–одновимірний
підпростір
простору
,
а
–деякий
лінійний оператор
цього простору.
Підпростір
,
як відомо,
породжується
будь-яким своїм
вектором
,
тобто є сукупністю
всіх векторів
виду
,
де

будь яке число
з поля Р. Якщо
підпростір

інваріантний
відносно оператора
,
то
,
тобто
,
де
­–деяке
число з поля
Р. Тоді й для
будь-якого
вектора
підпростору

,
бо
,
і тому
.
Означення
2. Вектор
,
що заддовільняє
співвідношення
,
де

називається
власним вектором
оператора
,
а число

– власним
значенням
оператора
,
що відповідає
власному вектору
.
Отже,
якщо одглвимірний
підпростір

простору

інваріантний
відносно лінійного
оператора
,
то всі вектори
цього підпростору
є власними
векторами
оператора

з тим самим
власним значенням
оператора
.
Практична
частина
1. Опис програми
n – вимірність
матриці;
m – максимальне
допустиме число
ітерацій;
e – точність;
a – на вході
– двовимірний
масив елементів
матриці А, на
виході матриця
А блочно-діагональна,
причому блоки
розміри 1х1 містять
дійсні власні
значення, блоки
розміру 2х2 містять
комплексні
власні значення,
записані в
стовпцях (рядках)
для правих
(лівих) власних
векторів;
t – двовимірний
масив власних
векторів А;
b – цілочислова
змінна.
Лінійний
оператор потрібно
задати за допомогою
матриці.
2. Текст програми
uses crt;
const dim=10;
type ar=array[1..dim,1..dim]of real;
var ff:text;
i100,j100,n100,b,m:integer;
e:real;
a,t:ar;
procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var
b:integer);
var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;
i,j,k,n1,q:integer;
u,v,w,z:boolean;
function zn(x:real):integer;
begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end; begin u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e); if b0 then begin if b<0 then v:=true else w:=true; for i:=1 to n do for j:=1 to n do if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0; end; for q:=1 to m do begin if u then begin b:=1-q; exit; end; i:=1; z:=false; repeat j:=i+1; repeat if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1)
or
(abs(a[i,j]-a[j,i])>e1)
and
(abs(a[i,i]-a[j,j])>e1)
then z:=true;
j:=j+1;
until (j>n) or z;
i:=i+1;
until (i>n1) or z;
if not z then begin b:=q-1; exit; end;
u:=true;
for k:=1 to n1 do
for j:=k+1 to n do
begin
h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]);
y:=y+x-d;
if (ik) and (ij)
then
begin
h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];
p:=x+sqr(a[j,i]);
r:=d+sqr(a[k,i]);
g:=g+p+r; f:=f-p+r;
end;
end;
h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];
p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];
if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end else begin x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x); s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c; end;

Источники:

Знаходження оберненої матриці за формулою

0

МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ І НАУКИ
УКРАЇНИ
ЗАКАРПАТСЬКИЙ
ДЕРЖАВНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ
ІНФОРМАТИКИ
Кафедра
програмного
забезпечення
автоматизованих
систем та
фізико-математичних
дисциплін
Реєстраційний
№______ Дата
________________
КУРСОВА
РОБОТА
З вищої математики
Тема: Знаходження
оберненої
матриці за
формулою
Рекомендована
до захисту“____”
____________ 2007р.
Робота
захищена“____”
____________ 2007р.
з
оцінкою_______________________
Підписи
членів комісії
Виконав
студент
ІІ — го курсу
денної
форми навчання
Дюркі
Андрій Євгенович
Науковий
керівник
проф. Поляк
С.С.
Ужгород
— 2007
ЗМІСТ
Вступ
1.Загальні
поняття про
матриці
2.Обернена
матриця
3.Висновки
4.Список
літератури
5.Програмна
реалізація
Вступ
Теорія обернених
матриць та їх
знаходження
за формулою
на даний момент
є актуальною,
адже вона
використовується
в багатьох
сферах економіко-математичного
програмування
сучасного
світу.
Матриці
використовуються
з метою виявлення
оптимального
способу дій
при розв’язанні
задач керування
системами,
зокрема –
економічними.
Предметом
дослідження
процесу знаходження
обернених
матриць за
допомогою
формули
є задачі пошуку
оптимальних
управлінських
рішень, що
математично
зводяться до
задач знаходження
умовного рішення
функції багатьох
змінних.
Оскільки
математичні
методи не можуть
застосовуватися
безпосередньо
до досліджуваного
об’єкта (фірми
або організації),
необхідною
є побудова
адекватної
цьому об’єкту
математичної
матриці. Під
математичною
матрицею об’єкта
розуміється
деяка штучна
система, що
спрощено відбиває
структуру й
основні закономірності
розвитку реального
об’єкта так, що
її вивчення
подає інформацію
про стан і поведінку
самого досліджуваного
об’єкта. Простими
словами за
допомогою
матричного
методу аналізу
існує можливість
встановити
реальне економічне
становище
досліджуваного
об’єкта, а за
допомогою
оберненої
матриці можна
винайти можливість
покращення
його теперішнього
стану.
Метою курсової
роботи є вивчення
матеріалу по
оберненим
матрицям на
основі якого
складається
написання
програми обчислення
оберненої
матриці до
заданої.
Розкриваючи
сутність тематики
даного курсового
дослідження
виникає перелік
певних завдань,
виконання яких
обов’язкове
для його реалізації.
До них відносяться:
визначення
поняття матриць
та обернених
матриць;
висвітлення
формули
для знаходження
обернених
матриць;
відображення
прикладів
застосування
формули
до матриць.
Структура
курсової роботи
складається
з двох розділів.
У першому розділі
розглянуто
загальні поняття
матриць і можливі
дії над ними.
У другому розділі
розкрито поняття
оберненої
матриці,
знаходження
оберненої
матриці до
даної за
допомогою
формули. Дану
курсову роботу
завершено
написанням
програми на
мові Pascal для
обчислення
оберненої
матриці для
заданої.
При виконанні
курсової роботи
були використані
навчальні
посібники з
теорії математичного
програмування
та періодичні
видання
економіко-математичного
напрямку.
Загальні
поняття про
матриці
Поняття
матриці, є одним
із найважливіших
понять не лише
в алгебрі, а й
в усій сучасній
математиці.
Поняття матриці
вперше ввели
англійські
математики
У. Гамільтон
, Д. Келі і Дж.Сільвестра
в середині XIX
ст.Основи теорії
матриць створені
К.Веєрштрасом
і Г.Фробеніусом
в другій половині
XIX ст. і поч.
XX ст.
Основні
означення
Прямокутна
таблиця чисел
aij = 1, 2, …. m; j= 1, 2, …, n, складена
з m рядків та n
стовпців і
записана у
вигляді

називається
матрицею.
Коротко
матрицю позначають
так:
А=( аij )
або Аmxn
де aij — елементи
матриці, причому
індекс i
в елементі aij
означає номер
рядка, j—
номер стовпця,
на перетині
яких стоїть
даний елемент.
Рядок
чисел аі1
аі2…аin
називають
і-им рядком,
а стовпець
чисел
а1
j
a2 j

am
j —
j-им
стовпцем матриці
Аm?n.
Добуток числа
рядків m на число
стовпців n називають
розміром матриці
і позначають
m?n.
Якщо хочуть
вказати розмір
m?n
матриці А, то
пишуть Аm?n.
Матриці позначають
прописними
літерами латинського
алфавіту А, В,
С і т.д.
Матриця, в
якої число
рядків дорівнює
числу стовпців,
називається
квадратною.
Кількість
рядків (стовпців)
квадратної
матриці називається
її порядком.
Матриця, у якої
всього один
рядок, називається
матрицею-рядком,
а матриця, у
якої всього
один стовпець,—
матрицею-стовпцем.
Дві матриці
Аmn=(aij) та Вmn=
(bij) називаються
рівними, якщо
вони однакових
розмірів і
мають рівні
відповідні
елементи: аij
= bij. Нульовою
називається
матриця, у якої
всі елементи
дорівнюють
нулю. Позначається
така матриця
буквою О.
В квадратних
матрицях виділяють
головну і побічну
діагональ.
Квадратна
матриця називається
діагональною,
якщо всі її
елементи, крім
тих, що знаходяться
на головній
діагоналі,
дорівнюють
нулю. Діагональна
матриця, у якої
кожен елемент
головної діагоналі
дорівнює одиниці,
називається
одиничною
і позначається
буквою Е. Наприклад,
одинична матриця
третього порядку
має вигляд

Будь-якій
квадратній
матриці
A =

можна поставити
у відповідність
певне число,
яке називається
ви­значником
(детермінантом)
цієї матриці
і позначається
символом det А.
За означенням
а11,
а12, …
а1n
det A =

= а21, а22,
… а2n
……………….
аm1,аm2,
… аmn
або
.
Алгебраїчним
доповненням

елемента

називається
число, рівне
.
Доповнюючим
мінором
елемента

матриці

називається
визначник
матриці n-1-го
порядку, отриманий
з матриці
викреслюванням
i-го рядка
і j-го стовпця.

Дії
над матрицями
Сумою
матриць
Аm?n=(aij)
та Вm?n=(bij)
однакової
розмірності
називають таку
матрицю Сm?n=(сij)
тієї ж розмірності,
що сij=
aij+bi
j
для всіх
і=1,…,m
та j=1,…,n.
Дія утворення
суми матриць
називається
їх додаванням.
Вона є комутативною
(А,
В [A+B=B+A]
) і асоціативною
(A,B,C
[(A+B)+C]=
[А+(В+С)]
).
Нулем є
матриця О=(0) (всі
елементи цієї
матриці є нулями),
причому (А
[А+О=О+А]
).
А
існує
така матриця

,що А+=+А=О
. (Якщо
А=(aij),
то
=(-aij).
Матрицю

називають
протилежною
до матриці
А і позначають
–А ).
Добутком
матриці Аm?n
=(aij)
на число k
називають
таку матрицю
Dm?n
= (dij)
тієї ж розмірності,
що й матриця
Аm?n
, елементи
dij
якої
дорівнюють
dij=kaij
для всіх
і=1,…,m
та j=1,…,n.
Дія утворення
добутку матриці
на число називається
множенням
матриці на це
число. Для позначення
добутку матриці
на число вживають
запис Dm?n
=kАm?n
. Множення
матриці на
число має такі
властивості
:
(
k,s,
А
(ks)A=k(sA
))
(
A,B,
k
k(A+B)=kA+kB)
(k,s,
А
(k+s)A=kA+sA)
На множину
всіх m?n
– матриць
відносно операцій
додавання
і множення їх
на число можна
дивитися як
на m?n-вимірний
векторний
простір.
Нехай
Аm?n=(aij),
Вn?s=(bij)
– дві матриці
розмінностей
відповідно
m?n
та n?s.
Добутком
матриці
Аm?n
на матрицю
Вn?s
називається
така матриця
Сm?s=(cij)
, що
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj=airbrj
.
Бачимо, добуток
матриці А на
матрицю В
визначено тоді
і тільки тоді,
коли кількість
стовпців матриці
А дорівнює
кількості
рядків матриці
В.
В результаті
множення матриці
А на матрицю
В одержуємо
матрицю С з
таким числом
рядків, як матриця
А, і з таким
числом стовпців,
як і матриця
В.
Для квадратних
матриць однакового
порядку визначені
обидва добутки
АВ та ВА,
які є матрицями
того ж порядку,
що й матриці
А та В. При
цьому АВ може
не дорівнювати
ВА. Дія утворення
добутку матриці
А на матрицю
В називається
множенням
матриці А на
матрицю В.
Множення матриць
має такі властивості:
(А,
В,
C, для
яких мають
зміст добутки
АВ та
ВС,
[( АВ)С=А(ВС)]
),
(А,
В,
C,
для яких мають
зміст сума В+С
і добуток АВ
(а, отже, AC),
[A(B+C)=AB+AC]);
аналогічно,
(A,B,C,
для яких мають
зміст сума A+B
і добуток AC
(а, отже, BC),
[(A+B)C=AC+BC]),
у випадку,
коли розглядувані
матриці є
квадратними
матрицями n-го
порядку, матриця
Еn?n
=
,
задовольняє
умову:
(Аn?n
[Аn?n·Еn?n=
Еn?n·
Аn?n=
Аn?n])
Обернена
матриця
Як
відомо, для
кожного числа
а≠0
існує обернене
число, тобто
таке число а-1,
що
а∙а-1
= а-1∙а
= 1.
Оскільки
в множині квадратних
матриць n-го
порядку роль
одини­ці відіграє
одинична матриця
Е, то
природно, за
аналогією,
прийняти
таке
означення:
матриця А
називається
оберненою для
квадратної
матриці
А,
якщо
А?=А?=Е.
Легко
зрозуміти, що
не для кожної
квадратної
матриці існує
обернена матриця.
Питання про
існування для
даної матриці
А оберненої
матриці виявляється
складним.
Зважаючи на
некомутативність
множення матриць
ми говоритимемо
зараз про праву
обернену
матрицю, тобто
про таку матрицю
А-1, що
добуток
матриці А справа
на цю матрицю
дає одиничну
матрицю
AA-1
= E (1)
Якщо матриця
А вироджена,
то, якби матриця
А-1
існувала, то
добуток, що
стоїть в лівій
частині рівності
(1), був би виродженою
матрицею, тоді
як насправді
матриця E
, яка стоїть в
правій частині
цієї рівності,
є невиродженою,
оскільки її
визначник
рівний одиниці.
Таким чином,
вироджена
матриця не може
мати правої
оберненої
матриці. Такі
ж міркування
показують, що
вона не має і
ліву обернену
матрицю і тому
для виродженої
матриці обернена
матриця взагалі
не існує.
Отже,
з’ясуємо, які
умови має
задовольняти
матриця А,
щоб для
неї існувала
обернена матриця.
Нехай

— довільно
вибрана матриця
n-го
порядку. Матриця

в якій
елементами
i-го
рядка
(i=1,
2, …, п) є
алгебраїчні
доповнення
елементів і-го
стовпця матриці
А,
називається
взаємною
матрицею
для матриці
А.
Теорема
1. Визначник
det
A
дорівнює
сумі добутків
всіх елементів
будь-якого його
рядка або стовпця
на їх алгебраїчні
доповнення.
Теорема
2. Сума добутків
всіх елементів
деякого рядка
(стовпця) визначника
det
A
на
алгебраїчне
доповнення
відповідних
елементів
іншого рядка
(стовпця) дорівнює
нулю.
Беручи
до уваги теореми
1, 2 та позначивши
через detA
визначник
матриці A,
обчислимо
добутки
і
.
Дістанемо
. (2)
Матриця
А=(aіk)
називається
невиродженою
(або
неособливою),
якщо
її визначник
відмінний від
нуля. Вона
називається
виродженою
(особливою),
якщо
її визначник
дорівнює нулю.
Із співвідношень
(2)
випливає, що
якщо матриця
А
невироджена,
то взаємна їй
матри­ця

також
буде невиродженою,
причому det

дорівнює
(n-1)-му
степеневі det
A.
Переходячи
від рівностей
(1)
до рівності
визначників,
дістанемо
,
звідки,
оскільки
,
.
Теорема
3.
Для
того щоб існувала
матриця, обернена
до матриці
А, необхідно
й достатньо,
щоб матриця
А була невиродженою.
Необхідність.
Припустимо,
що для матриці
А
існує
обернена
матриця
?. Тоді
А?=Е.
Звідси,
за теоремою
про множення
визначників
,
тобто
.
Тому
,
і, отже, матриця
А —
невироджена.
Достатність.
Нехай
матриця А
— невироджена.
Тоді, як випли­ває
з рівностей
(2), матриця

є
оберненою до
матриці А.
Матрицю,
обернену до
матриці А,
позначають
символом А-1.
Доведемо,
що для будь-якої
невиродженої
матриці А
існує
тільки одна
обернена матриця
А-1.
Справді, якщо
матриця С
така,
що АС
= СА
= Е,
то
САА-1
= (СA)А-1
= ЕА-1=
А-1,
САА-1
= С(AА-1)
= CЕ=
C,
і отже,
С=А-1.
Таким чином,
для кожної
невиродженої
матриці A=(aik)
існує, і притому
тільки одна,
обернена матриця
(3)
Співвідношення
(3) називають
формулою оберненої
матриці. Якщо
матриця А
невироджена,
то обернена
до неї матриця
А-1 також
невироджена.
Справді, з рівності
АА-1=Е і
теореми про
множення визначників
випливає, що
;
тому матриця
А-1 також
невироджена.
Оберненою до
матриці А-1,
очевидно, є
матриця А.
Приклади
1. Для матриці
A знайти
обернену матрицю.
Рішення.
Знаходимо
спочатку детермінант
матриці А:
Це
означає, що
обернена матриця
існує
і ми її можемо
знайти по формулі
,
де Аi
j
(i,j=1,2,3)
— алгебраїчні
доповнення
до елементів
аi
j
початкової
матриці.
звідки
.
2. Знайти
матрицю, обернену
до матриці.
A =

Знаходимо
спочатку визначник
матриці A:

=

= 1(-1)4+1
= (-1)
=
= (-1)1(-1)3+1=
-1
0.
Отже обернена
матриця існує.
Знаходимо
алгебраїчні
доповнення:
A11=(-1)1+1=
2 A21=(-1)2+1=
-1
A31=(-1)3+1=
-1 A41=(-1)4+1=
-1
A12=(-1)1+2=
-1 A22=(-1)2+2=
1
A32=(-1)3+2=
0 A42=(-1)4+2=
0
A13=(-1)1+3=
-1 A23=(-1)2+3=
0
A33=(-1)3+3=
1 A43=(-1)4+3=
0
A14=(-1)1+4=
-1 A24=(-1)2+4=
0
A34=(-1)3+4=
0 A44=(-1)4+4=
1
Підставляючи
у формулу (3)
знайдені значення,
одержуємо:
A-1 =

Перевірка.
Одержаний
результат можна
легко перевірити.
Оскільки,
AA-1
= E, де
E –це
одинична матриця,
то:
AA-1
=

=

=
=

Отже,
обернену матрицю
знайдено вірно.
Висновки
Отже, висвітливши
основні поняття
обернених
матриць, можна
прийти до висновку,
що процес знаходження
обернених
матриць за
допомогою
формули є швидким
і простим методом
аналізу стану
певного об’єкта.
Список
використаної
літератури
Ващук Ф.Г.,
Поляк С.С.
Практикум
з вищої математики.
— Ужгород, 2005.
6 – 24 с.
Курош
А.Г. Курс высшей
алгебры. — Москва,
1968. 95–99
с.
Додаток
Дану задачу
можна реалізувати
на мові програмування
Turbo Pascal
Лістінг
програми
Program InversMatrix;
const max_size=10; {max size matrix }
type matr=array[1..max_size,1..max_size] of real;
label 1;
var
a,invers,tmp_matrix : matr;
size : Integer; {size matrix}
i,j :Integer;
dt : real;
procedure PrintMatr(m:matr;n:integer);
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(m[i,j]:8:3);
writeln;
end;
end;
Function Pow (x:Integer; y:Integer):Integer;
var
i,z :Integer;
begin
z := 1;
for i:=1 to y do
z := z * x;
Pow := z;
end;
procedure GetMatr(a:matr; var b:matr; m,i,j:integer);
var ki,kj,di,dj:integer;
begin
di:=0;
for ki:=1 to m-1 do
begin
if (ki=i) then di:=1;
dj:=0;
for kj:=1 to m-1 do
begin
if (kj=j) then dj:=1;
b[ki,kj]:=a[ki+di,kj+dj];
end;
end;
end;
Function Determinant(a:matr;n:integer):real;
var i,j,k:longint;
b:matr;
d : real;
begin
d:=0; k:=1;
if (n<1) then begin writeln('Determinant: Cann''t run. N=',n); halt; end; if (n=1) then d:=a[1,1] else if (n=2) then d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2] else { n>2 }
for i:=1 to n do
begin
GetMatr(a,b,n,i,1);
{writeln(‘i=’,i,’ a[‘,i,’,1]=’,a[i,1]);
PrintMatr(b,n-1);}
d:=d+k*a[i,1]*Determinant(b,n-1);
k:=-k;
end;
Determinant:=d;
end;
begin
Write(‘Enter size matrix [1..10] :’);
ReadLn(size);
for i:=1 to size do
for j:=1 to size do
begin
Write(‘a[‘,i,’,’,j,’]=’);
ReadLn(a[i,j]);end;
begin
if determinant(a,size)=0 then
begin write (‘matryca vyrudzena,obernenoi ne isnue!’);
goto 1; end;
end;
WriteLn(‘================================================’);
WriteLn(‘ Source matrix ‘);
WriteLn;
PrintMatr(a,size);
dt:=Determinant(a,size);
WriteLn(‘================================================’);
writeln(‘Determinant = ‘,dt:8:3);
{sozdaem matrix is dopolneniy}
for i:=1 to size do
for j:=1 to size do
begin
GetMatr(a,tmp_matrix,size,j,i);
invers[i,j]:=Pow(-1,i+j)*Determinant(tmp_matrix,size-1)/dt;
end;
WriteLn(‘================================================’);
WriteLn(‘ Inverse matrix ‘);
WriteLn;
PrintMatr(invers,size);
1:readln;
end.
Контрольні
приклади
Приклад
1.
Вхідні
дані –
Розмірність
матриці – 3
1 2 3 -2.00 4.00 -1.00
1 1 2 → обернена
матриця→
0.00 -1.00 0.00
1 0 2 1.00 -2.00 1.00
Приклад
2.
Вхідні
дані –
Розмірність
матриці – 4
обернена
матриця

Источники: